8.5空间向量及其运算课件-2025届高三数学一轮复习

第5节 空间向量及其运算 课标解读 1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两点间的距离公式. 2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.空间向量的有关概念 抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向 名称 概念 表示 零向量 长度(模)为　　的向量  0 单位向量 长度(模)为　　的向量  — 相等向量 方向　　　且模　　　的向量  a=b 相反向量 长度　　　而方向　　　的向量  a的相反向量为-a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　 　　　的向量  a∥b 共面向量 平行于同一个　　　的向量  — 0 1 相同 相等 相等 相反 平行或重合 平面 微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果. 2.空间向量中的有关定理 定理 语言描述 共线向 量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb 　　　 为了使λ存在且唯一 共面向 量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 空间向量 基本定理 {a,b,c}叫做空间的一个基底 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc 微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题. 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则_________　　　　叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>.  (1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向 ②范围:0≤<a,b>≤π. (2)两个非零向量a,b的数量积: a·b=　　　　　　　　.  误区警示向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. ∠AOB |a||b|cos<a,b> 4.空间向量的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决 a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 常用结论 1.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线: 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面: 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.空间中任意两个非零向量a,b共面.(　　) 2.空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　　) 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 .(　　) 4.若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面.(　　) √ × √ × 题组二回源教材 5.(人教A版选择性必修第一册习题1.2第2题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(　　) A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c C 6.(人教B版选择性必修第一册1.1.3节例4(1))已知a=(1,-1,1),b=(x,y,z),且a∥b,则x,y,z满足的关系式是　　　　　　　.  x=-y=z　 7.(人教A版选择性必修第一册第22页练习第3题改编)M为z轴上一点,且点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是　　　　.  (0,0,-3) 题组三连线高考 8.(2014·广东,理5)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°角的是 (　　) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) B 2 研考点 精准突破 考点一 空间向量的运算