8.4空间直线平面的垂直课件-2025届高三数学一轮复习

第4节 空间直线、平面的垂直 课标解读 1.了解空间中线线、线面、面面垂直的关系,认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.直线与平面垂直 (1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的　　　　,平面α叫做直线l的　　　　.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.  与“所有直线”是同义的,但与“无数条直线”不同 垂线 垂面 (2)判定定理与性质定理 平行 a⊥α 微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直? 提示 存在,如图. 2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　　　　,就说这两个平面互相垂直.  直二面角 (2)判定定理与性质定理 一定不能漏掉“垂直于交线”这一条件 垂线 b⊥α 微点拨在性质定理中要注意两点:一是“在平面内”,二是“垂直于交线”,缺一不可.它是作平面垂线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可. 3.直线与平面所成的角 如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°. 4.二面角及其平面角 如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q. 如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 常用结论 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.直线l与平面α内无数条直线都垂直,则l⊥α.(　　) 2.若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　) 3.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.(　　) 4.若α⊥β,a⊥β,则a∥α.(　　) × × × × 题组二回源教材 5.(人教A版必修第二册第159页练习第2题)已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是(　　) A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b⊂β C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β D 解析 α⊥γ,β⊥γ⇒α与β相交或平行,故A不正确;∵α∩β=a,b⊥a,b⊂β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正确;a∥β,a∥α⇒α与β相交或平行,故C不正确;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一条直线垂直于β,∴α⊥β,故D正确. 6.(人教A版必修第二册第152页练习第4题)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC. (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　心.  (2)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的　　　　　点.  (3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的　　　心.  外 中 垂 解析 (1)∵过△ABC