专题03正余弦定理十一个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题03正余弦定理 一、余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 3.解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 二、正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 知识点3三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 三、判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 四、实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 五、解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 【重难点01余弦定理解三角形】 例1．在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 例2．已知的内角的对边分别为，若，则 ． （1）已知两边及其一边的对角解三角形：直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. （2）已知三边解三角形：已知先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解. 【跟踪练习】 练习1．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 练习2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 . 练习3．在中，，则的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 练习4．设的内角所对的边分别为，且，．求的值； 【重难点02正弦定理解三角形】 例3．在中，、、的对边分别为a、b、c，若、、，则 ． 例4．已知的内角的对边分别是.若，则（    ） A． B． C．2 D．3 （1）已知两角一边解三角形：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 【跟踪练习】 练习1．已知，内角的对边分别是．若，，，则角A的大小为 ． 练习2．在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，，则 . 练习3．在中，已知，若最长的边长为，则最短的边长为（    ） A． B． C． D． 练习4．在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【重难点03三角形的多解问题】 例5．在中，，，满足此条件的有两解，则边长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．， 已知和,用正弦定理求时的情况：（1）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解；③若，三角形两解；④若，三角形一解; （2）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，