8.6.2 直线与平面垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

.. 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 思考：北京天安门广场上的旗杆与地面什么位置关系? 旗杆AB所在直线与地面任意一条过点B的直线垂直 旗杆AB所在直线与地面任意一条不过点B的直线垂直 旗杆AB所在直线与地面任意一条直线垂直 探究：如图，在阳光下观赛直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子 所在直线是否保持垂直? 直线和平面垂直的定义 它们唯一的公共点即交点P叫做垂足． 如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥ . 直线l叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线l的垂面． 数学语言： 画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示． 基本性质： 判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例） 1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ） 2.如果一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与平面垂直. （ ) 3.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直.（ ) b α a 练习: √ × × 思考:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离. 动手操作：准备一块三角形的纸片ABC，过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（BD，DC与桌面接触） （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？ 探究：一条直线最少与一个平面的几条直线垂直，可以判断直线与平面垂直呢？ 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直判定定理： 线线垂直 线面垂直 例:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA=PC ，PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD C A B D O P 线线垂直 线面垂直 证明：∵PA=PC,点O是AC的中点 ∴PO⊥AC 又∵PB=PD,点O是BD的中点 ∴PO⊥BD 又∵AC∩BD=O, ∴PO⊥平面ABCD AC平面ABCD, BD平面ABCD 1.在三棱锥 V-ABC中，VA=VC，BA=BC .求证：VB⊥AC. V A B C O 证明：取AC中点O，连接VO和BO ∵VA=VC，BA=BC ∴VO⊥AC,BO⊥AC, 即AC⊥OV,AC⊥OB 又OV⊂平面VOB,OB⊂平面VOB 且OV ∩OB=O ∴AC⊥平面VOB 又VB⊂平面VOB ∴AC⊥VB，即VB⊥AC 练习： 思考：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的"两条相交直线"可以改为"两条平行直线"吗？你能从向量的角度解释原因吗？ 如果改为"无数条直线"呢？ 例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 已知:如图，已知 , 求证: 所以 证明：在平面 内作两条相交直线m，n． 推论： 两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。 已知:如图，已知 , 求证: 15 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。 2.范围：直线和平面所成角的范围是[0，90]。 平面的斜线和平面所成的角 P′ O P 直线PO叫做这个平面的斜线；点O叫做斜足； 直线PP为垂线；直线OP叫做斜线OP在这个平面上的射影。 O A C1 D C B B1 A1 D1 直线与平面垂直的判定 推论 判定定理 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，此直线垂直于这个平面 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 小结： 思考：1.联合国大楼前面各国国旗旗杆之间什么位置关系？ 2.它们与地面之间有什么位置关系？ 思考：如