第3章圆锥曲线与方程 章末小结 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 章末小结 【知识导图】 【题型探究】 圆锥曲线的定义及应用 例1　(1)(2022年全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　). A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3 　　(2)(2021年全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　). A. B. C. D. 小结　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.运用定义解题时应注意圆锥曲线定义中的限制条件.本题渗透了数学运算、逻辑推理的素养. 圆锥曲线的方程 例2　(2021年北京卷)双曲线C:-=1的离心率为2,过点(,),则该双曲线的标准方程为(　　). A.-y2=1 B.x2-=1 C.x2-=1 D.-y2=1 小结　一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.本题考查了数学运算的素养. 圆锥曲线的几何性质 例3　(1)(多选题)(2022年新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　). A.C的准线方程为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 (2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0), C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　　.  小结　应用圆锥曲线的性质时,要注意与数形结合、方程思想等结合运用.本题考查了数学运算、直观想象以及逻辑推理的素养. 直线与圆锥曲线的位置关系 例4　(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 小结　直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法,还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等.本题渗透了数学运算、逻辑推理、直观想象的素养. 与圆锥曲线有关的最值和范围问题 例5　(2022年全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程. (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 【 小结　圆锥曲线中的最值问题通常有两类:一类是有关长度、面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.这两类问题的解决往往需要回归定义,结合所学平面几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及数形结合,设参,转化,代换等途径来解决.本题考查学生的数学运算、逻辑推理的素养. 圆锥曲线中的定点、定值问题 例6　(2020年全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程. (2)证明:直线CD过定点. 小结　对于圆锥曲线中的定点、定值问题,有以下两种求法:(1)从特殊情况入手,先求含变量的定点(定值),再证明这个点(值)与变量的关系.(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值). 【拓展延伸】 圆锥曲线的光学性质及应用 　　圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过平面直角坐标系,它们又与一元二次方程对应,所以圆锥曲线又叫作二次曲线.圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线. 一、圆锥曲线的光学性质 1.椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上,如图所示. 椭圆的这种光学性质,常被用来设计一些照明设备或聚热装置,例如点F1处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于点F2处,对F2处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理. 2.双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光,