4.4 课时2 二项式系数的性质 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

4.4　课时2　二项式系数的性质 【学习目标】 1.了解杨辉三角.(逻辑推理) 2.掌握二项式系数的性质.(逻辑推理、数学运算) 3.会用赋值法求项(二项式)的系数和.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.在(1+2x)2022的展开式中,二项式系数的最大项是第几项?最大值是多少?在(1+x)2022的展开式中,二项式系数的最大值是多少? 2.若(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n为何值? 3.(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和与a,b的取值有关系吗? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. (　　) (2)二项展开式的二项式系数和为++…+. (　　) (3)在(a-b)n的展开式中,当n为偶数时,二项展开式中中间一项的系数最大. (　　) (4)在(a+b)n的展开式中,二项式系数具有对称性,所以=. (　　) 2.(1+2x)7 的展开式中二项式系数最大的项是(　　). A.280x3 B.560x4 C.280x3和560x4 D.672x5和560x4 3.在(1+x)n(n∈N+)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=　　　　.  4.若x-6的展开式中常数项为-160,则展开式中各项系数之和为　　　　.  【合作探究】 探究1：杨辉三角 情境设置 　　下图是历史上的杨辉三角. 问题1:各行的数字有什么关系? 问题2:第1,2,3,4,5,6行的数字之和各是多少?由此你能猜出第n行的数字之和吗? 由此你能得出什么结论? 问题4:试写出第n行、第n+1行的数字,并探讨与,之间有什么关系? 问题5:杨辉三角有什么作用? 新知生成 　　杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等. (2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和,即=+. 新知运用 例1　杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示,在杨辉三角中,第15行第15个数是　　　　　.(用数字作答)   【方法总结】解决与杨辉三角有关问题的一般思路:(1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察.(2)找规律:通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律. 巩固训练 　　将杨辉三角中的奇数全部换成1,偶数全部换成0,得到如图所示的三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第　　　　行;第61行中1的个数是　　　　.  探究2：二项式系数的性质 情境设置 　　问题1:根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质? 问题2:计算,并说明你得到的结论. . 问题3:二项式系数何时取得最大值? 新知生成 1.对称性 二项式系数f(r) 关于直线r=对称,即f(r)=f(n-r) .在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即= . 2.最大值与单调性 二项式系数f(r) 从两端向中间逐渐增大,且当n是偶数时,展开式的项数n+1 是奇数,中间一项的二项式系数 取得最大值;当n是奇数时,展开式的项数n+1是偶数,中间两项的二项式系数, 相等,且同时取得最大值. 新知运用 例2　已知(+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,求2x-2n的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 方法指导　(1)先根据二项式系数和列方程求n的值,再根据组合数性质确定二项式系数最大的项,最后根据二项展开式通项公式求结果;(2)先根据二项展开式通项公式得各项系数,根据条件列方程组,解得系数的绝对值最大的项的项数,再代入二项展开式通项公式得结果. 【方法总结】1.根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,那么与之相邻两项(第r项,第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N来确定r的值,即可求出最大项. 巩固训练 　　在-8的展开式中, (1)求二项式系数最大的项. (2)系数的绝对值最大的项是第几项? (3)求系数最大的项与系数最小的项. 探究3：赋值