4.4 课时1 二项式定理学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

4.4　课时1　二项式定理 【学习目标】 1.能用两种计数原理证明二项式定理.(逻辑推理) 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学抽象) 3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.你能写出(b+a)n的二项展开式吗?二项展开式中的字母a,b能交换位置吗? 2.(1+2x)n的二项展开式是什么?其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么? 3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)(a+b)n展开式中共有n项. (　　) (2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同. (　　) (3)arbn-r是(b+a)n展开式中的第r(r=0,1,2,…,n)项. (　　) (4)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等. (　　) 　 2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.10 C.11 D.8 3.将(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展开后有　　　个不同的项.  4.求x+6的展开式. 【合作探究】 探究1：二项式定理 情境设置 　　问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程? 问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗? 问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式是什么? 新知生成 　　二项式定理 公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)叫作二项式定理.等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,一共有(n+1)项,其中各项的系数(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数. 新知运用 例1　(1)求的展开式. (2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 方法指导　(1)解答本题先将看成a,-看成b,利用二项式定理展开,也可以先将化简后再展开.(2)可先把x+1看成一个整体,分析其结构形式,逆用二项式定理求解. 【方法总结】二项式定理的双向应用:(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 巩固训练 1.1-2+4-8+16+…+(-2)n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n 2.求x2+-23的展开式. 探究2：二项展开式的通项 情境设置 　　问题1:在(a+b)n的二项展开式中,第k项是什么? 问题2:在(a+b)n的二项展开式中,Tk+1=an-kbk是二项展开式的第几项?其二项式系数是什么? 问题3:(1+3x)n的二项展开式是什么?其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么? 新知生成 　　二项展开式的通项 (a+b)n展开式中的an-rbr叫作二项展开式的通项,记作Tr+1,它表示展开式的第r+1项,即Tr+1=an-rbr. 新知运用 例2　已知在-n的展开式中,第6项为常数项. (1)求n的值; (2)求含x2的项的系数; (3)求第4项的二项式系数及第4项的系数; (4)求展开式中所有的有理项. 方法指导　(1)写出二项式的通项Tr+1,令r=5,x的指数为0,求出n的值;(2)由二项式的通项求含x2的项的系数;(3)由二项式的通项写出第4项的二项式系数及第4项的系数;(4)令通项中“变元”的幂指数为整数,建立方程,解方程得对应的有理项. 【方法总结】求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求k的值,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0,建立方程. 巩固训练 　　求x2-9的展开式中: (1)第6项的二项式系数; (2)第3项的系数; (3)常数项. 探究3：有理项问题 情境设置 　　问题1:什么是展开式的有理项?