4.3 课时2 组合数的应用学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

4.3　课时2　组合数的应用 【学习目标】 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.(数学运算) 2.能解决有限制条件的组合问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.组合与排列的异同点是什么? 2.组合数的性质有哪些? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)+=(m≥2且m∈N+). (　　) (2)从4名男生3名女生中任选2人,至少有1名女生的选法共有种. (　　) (3)把4本书分成3堆,每堆至少一本,共有种不同分法. (　　) (4)由三个3和四个4可以组成30个不同的七位数. (　　) 2.从甲、乙、丙、丁 四个人中选取2人参加会议,不同的选取方法有(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.6种 B.8种 C.12种 D.16种 3.某城市街道如图所示,某人要选择最短路程从A地前往B地,则不同的走法有　　　　种.  4.从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动. (1)共有多少种不同的选择方法? (2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法? 【合作探究】 探究1：简单的组合问题 情境设置 　　平面内有A,B,C,D这4个点. 问题1:以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? 问题2:以其中2个点为端点的线段共有多少条? 问题3:如何解决简单组合问题? 新知生成 　　解答简单的组合问题的思考方法: (1)弄清要做的这件事是什么事. (2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题. (3)结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果. 特别提醒:要关注将要计的数是分类还是分步,在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏. 新知运用 例1　在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 【方法总结】求解简单组合问题的一般步骤 巩固训练 　　现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法? 探究2：有限制条件的组合问题 情境设置 　　问题1:从2,3,4,5,6,7中任取3个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,这样的三位数有多少个? 问题2:某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,请问不同的裁员方案有多少种? 问题3:根据问题1,2,想一想如何解决有限制条件的问题? 新知生成 　　有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题的解题策略: (1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”. (2)若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法. (3)解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准. 新知运用 例2　某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,在下列不同条件下,各有多少种选法? (1)至少有一名队长当选; (2)至多有两名女生当选; (3)既要有队长,又要有女生当选. 【方法总结】有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:①直接分类法,但要注意分类要不重不漏;②间接法,注意找准对立面,确保不重不漏. 巩固训练 　　在12件产品中,有10件正品,2件次品,从这12件产品中任意抽取3件. (1)共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种? 探究3：分组、分配问题 情境设置 　　问题1:把a,b,c,d平均分成两组,有多少种分法? 　　问题2:把a,b,c,d分成两组,一组3个元素,一组1个元素,有多少种分法? 问题3:若把4个不同的苹果分给三个人,每人至少1个,共有几种方法? 新知生成 1.一般地,平均分成n堆(组),必须除以n!,如若部分平均分成m堆(组),必须再除以m!,即平均分组问题,一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有种.故平均分组要除以分组数的全排列. 2.