4.3 课时1 组合与组合数公式 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

4.3　课时1　组合与组合数公式 【学习目标】 1.理解并掌握组合与组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.(数学抽象) 2.会推导组合数公式,并会应用公式进行求值.(数学运算) 3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?这一问题与“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另外1名同学参加下午的活动”有什么区别和联系? 2.你能说说排列与组合之间的区别和联系吗? 3.我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗?为什么? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是. (　　) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积. (　　) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合. (　　) (4)=5×4×3=60. (　　) 2.(+)÷的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.101 C. D. 3.在报名的3名男教师和3名女教师中,选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方法种数为　　　　　.(结果用数值表示)  4.求不等式-n<5的解集. 【合作探究】 探究1：组合的概念 情境设置 　　“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一,它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台,同时也给同学们出了一道数学题.比较下列两个问题并发现它们之间的关系. 问题1:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,且其中1名参加流行组,1名参加民歌组,共有几种不同的报名结果? 问题2:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,共有几种不同的报名结果? 问题3:上述两个问题的区别是什么? 新知生成 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,不论次序地构成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.相同组合:当且仅当这两个组合的元素完全相同. 3.排列与组合的区别 排列需要考虑元素的顺序,组合不需要考虑元素的顺序. 新知运用 例1　判断下列问题是排列问题,还是组合问题. (1)10个人相互写一封信,共写出了多少封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次? (4)从10个人中选出3人担任不同学科的科代表,有多少种选法? 方法指导　区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序,而区分事件有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,若对结果产生影响,即说明有顺序,是排列问题;若对结果没有影响,即说明无顺序,是组合问题. 【方法总结】判断一个问题是否是组合问题的方法技巧:区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关. 巩固训练 　　判断下列问题是排列问题,还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法? (2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数? (3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法? 探究2：组合数公式 情境设置 　　问题1:组合的概念的要点是什么? 问题2:两个组合是相同组合的充要条件是什么? 问题3:前面已经提到,组合和排列有关系,我们能否利用这种关系,由排列数来求组合数呢? 问题4:如何理解组合与组合数? 新知生成 1.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示. 2.组合数公式 组合 数公 式 乘积式 == 阶乘式 = 备注 ①n∈N+,m∈N且m≤n;②规定=1 新知运用 例2　计算:(1)3-2;(2)解关于n的不等式>. 方法指导　恰当选择组合数公式,一般地,公式=常用于n为具体数的数目,偏向于组合数的计算;公式=常用于n为字母的题目,偏向于解不等式或证明恒等式.注意使用组合数公式的隐含条件. 【方法总结】　(1)公式=(n∈N+,m∈N,m≤n)一般用于求值计算. (2)公式=一般用于化简、证明或m,