第8题 导数一般大题 讲义-2024届高考数学二轮复习之每日一题

第8题 导数一般大题 （2024·山东烟台·一模） 已如曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. （1）根据斜率关系列方程，求出→利用导数的几何意义即可求解， （2）求导→判断函数的单调性→求出函数的最值→解出的取值范围. 详解 模板总结 【详解】（1）由于的斜率为，与切线垂直， 所以，                    …………2分 又， 故，                …………4分 解得.                        …………6分 （2）由（1）知，所以，  ………7分 故当时，单调递增， 当时，单调递减，   ………11分 故当时，取最小值，………12分 要使恒成立，故， 解得， 故的取值范围为                ………13分 1.    利用导数求出切线的斜率，根据垂直关系列方程求参数. （导数的几何意义即为切线的斜率） 2.    利用导数求单调区间、极值、最值用的是同一个思路： 求导→由导函数的正负求单调区间→求极值→求最值. 3.  利用导数求单调区间、极值、最值的解题步骤：求导→由导函数的正负求单调区间→求极值→求最值. （2024·北京平谷·模拟预测） 1．设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求a的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求证：． （2024·新疆乌鲁木齐·一模） 已知函数． （1）证明曲线在处的切线过原点； （2）讨论的单调性； （3）若，求实数的取值范围． （1）利用导函数的几何意义求出切线方程→代入验证； （2）求函数的导数→根据判别式，讨论a的取值→分别求出对应情况下函数的单调区间; （3）由题意→把问题转化为→利用一次函数单调性得，只需证→利用导数研究单调性即可. 详解 模板总结 （1）由题设得， 所以， 又因为，所以切点为，斜率， 所以切线方程为.        …………2分 即恒过原点．                    …………3分 （2）由（1）得，…………4分 ①时，， 当时，， 所以在上单调递增； 当时，， 所以在上单调递减.         …………5分 令，则 ②且时，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减，………6分 ③时，， 则，则，所以在上单调递减； ，则，所以在上单调递增，                   …………7分 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增；在上单调递减， 时，在上单调递减；在上单调递增，             …………9分 （3）当时，，即，     …………10分 下面证明当时，，，即证， 令，因为，所以，只需证，              即证.         ………11分 令，，，令，， 令，，与在上单调递减， 所以在上单调递减，，， 所以存在，使得，即， 所以，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，，，……13分 令，时， 所以在上单调递增，所以， 所以，，所以在上单调递减， ，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以.                    …………14分 综上所述．                     …………15分 1.利用导数求出切线的斜率，进而写出切线方程. 2.对于含参数的单调性判断，需要对参数分类讨论（分类讨论的标准：①最高此项系数是否能为0；②是否有根；③方程的几个根的大小比较） 3.先判断出当时，，进而证明当时， 4.隐零点问题关键是对应的 对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法， 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. （2024·内蒙古赤峰·模拟预测） 2．已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若，，使得， ①求的单调区间； ②求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3)证明见解析 【分析】 （1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）求出的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间； （3）结合（2），可得在为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论. 【详解】（1） 由题意得的定义域为，， 因为．所以，解得. （2） 因为，的定义域为， ， 令，得， 与在区间上的情况如下： x 0 - 0