第5题 利用导数求切线及公切线 讲义-2024届高考数学二轮复习之每日一题

第5题 利用导数求切线及公切线 （2024·云南曲靖·一模） 已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ） A．    B． C．    D． 设切点坐标→利用导数几何意义，由切线重合得导数值相等解得→再由点为交点，则坐标满足两曲线方程，由此建立等量关系→再利用导数研究函数的值域即可. 详解 模板总结 设点的横坐标为，则由可得，又可得， 且两条曲线在点处的切线重合， 所以切线的斜率，解得或（舍去）， 即点的横坐标为， 由点为曲线：与曲线：的交点， 所以，即， 令， 则， 令可得， 由知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当， 则实数的取值范围为. 故选：C. 1.    利用导数的几何意义，求出导函数得到切线斜率.（利用求出求切线方程关键是求出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线方程） 2.通常可以根据以下三个条件列方程组：①切点在曲线上，②斜率相等，③导函数的值为切线斜率 用导数求切线方程常见类型： (1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：； (2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：. （2024·湖南长沙·一模） 1．已知直线与函数，的图象分别相交于，两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． （23-24高三上·山东淄博·期末） 已知实数x，y满足，则的最小值为 ． 由题意→转化为求曲线上一点到距离最小值→求导求出点符合题意→进而求出答案. 详解 模板总结 由题意得，，即求曲线上一点到距离最小值， 又因为在直线上， 所以当切线与直线平行时，距离取得最小值， 令，解得或（舍去）， 当时，点到直线距离为， 即所求曲线上一点到距离最小值为. 故答案为： 1.    根据式子结构转换为两点间距离公式；（几个距离公式的结构特点很明显，往往可以根据式子的结构特征构造距离公式） 2.利用几何特征判断出平行时距离最小 解题关键点：本题关键点在于将所求式子进行化简，进而转化为距离问题，通过导数研究曲线即可. （2024·河南·三门峡·一模） 2．记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据题意分别求得，，即，从而构造函数，利用导数求出最大值，从而求解. 【详解】，且 由，， 可得，，则. 设，，则， 当，，当，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，有极大值也是最大值， 即的最大值为，故A正确. 故选：A. 2． 【分析】根据题意结合导数的几何意义以及对称性分析求解. 【详解】由题意可知：，设为曲线上的一点， 令过点A的切线斜率为，解得， 所以，所以点A到直线的距离为， 所以曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为． 故答案为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$