第4题 复合型和镶嵌函数的零点 讲义-2024届高考数学二轮复习之每日一题

第4题 复合型和镶嵌函数的零点 （2024·河南·新乡模拟预测） 已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（　　） A.    B. C.    D. 由题意设函数→转化为直线与函数的图象恰有2个不同的交点→利用导数作出的图象→利用导数求出直线与函数的图象相切时a的值→进而判断出实数a的取值范围. 详解 模板总结 由题意知方程恰有2个不同的实数根.设，则直线与函数的图象恰有2个不同的交点， 因为，当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 当时，，当时，，当时，， ∴可以作出的大致图象，如图所示， 易知直线过定点，当直线与函数的图象相切时，设切点为， 则，解得或， 当直线与函数的图象相切时，或， 数形结合可知，实数a的取值范围为. 故选：D. 1.由题意进行转化：设，判断出直线与函数的图象恰有2个不同的交点.（由函数的零点求参数的范围通常转化为两个函数的交点） 2.借助于导数作出的大致图象.判断出直线过定点. （复合函数（解析式复杂的函数）通常利用导数判断单调性、极值，从而可以画出相对准确的草图） 3.利用导数求出直线与函数的图象相切时a的值，进而判断出实数a的取值范围. 【点睛】思路点睛：函数恰有两个不同的零点，转化为方程恰有2个不同的实数根，即直线与函数的图象恰有2个不同的交点，利用导数判断函数的单调性，极值，数形结合求解. （2024·北京平谷·模拟预测） 1．已知函数，设． 给出下列四个结论： ①当时，不存在最小值； ②当时，在为增函数； ③当时，存在实数b，使得有三个零点； ④当时，存在实数b，使得有三个零点． 其中正确结论的序号是 ． （2024下·浙江·联考） 已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是__________. 根据题意，讨论的性质→作出的图象→设，把题意转化为存在唯一解，且→分类讨论与→得到正确答案. 详解 模板总结 当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支；当时，有，可得在单调递减，在单调递增 且，，画出图象如下∶ 由题意，有唯一解，设， 则，（否则至少对应2个，不满足题意）， 原方程化为，即， 该方程存在唯一解，且. 转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下： 情形一：与相切，联立得， 由解得，此时满足题意： 情形二：与有唯一交点，其中一个边界为（与渐近线平行）， 此时交点坐标为，满足题意； 另一个边界为与相切，即过点的切线方程， 设切点为，则，解得， 所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到； 所以的范围为. 综上，的取值范围为或. 故答案为：或 1.由函数的性质和导数画出函数的图象.（数形结合法研究零点求参，图象化准确是关键，通常利用性质或者利用导数研究函数的性质画出相对准确的图象） 2.嵌套形函数的零点利用换元法，设进行求解. 3.再研究与有唯一公共点的情况，这样逐层剥离研究，这是嵌套型零点问题的通用解法 解决本题的关键在于第一要换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率. （2024·陕西西安·统考一模） 2． ，若有两个零点，则的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．②④ 【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断. 【详解】对于①：当时，， 易知函数在上的最小值为0， 函数，在内单调递增，即， 所以时，函数的最小值为0，故①错误； 对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增， 函数的对称轴为，所以在内单调递增， 又，即，解得， 综上可知，当时，在为增函数，故②正确； 对于③：当时， 函数，则，即，存在一个零点； 函数，在内单调递增，与存在一个交点， 又，即，解得或， 于是时，，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误； ④当时， 函数，在内单调递减，在内单调递增， 则与存在两个个交点， 由③知，与存在一个交点，， 又，即，解得或， 于是时，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点. 故答案为：②④. 2． 【分析】先求函数的值域，单调性，并画出图象，再设，结合复合函数的零点个数求实数的取值范围即可. 【详解】易知函数在R上增函数，函数在上减函数， 所以，当时，，当时，， 于是函数的值域为， 又函数的在上单调递增，在上单调递减， 函数图象如图所示： 设，由可知，，则. 因为有两个零点，所以，即， 于是，则方程，即有两个零点， 所以，由的图象可知，使方程有两个零点， 则满足，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 答案第1页，共