第2题 函数中对称性和周期性综合运用 讲义-2024届高考数学二轮复习之每日一题

第2题 函数中对称性和周期性综合运用 （2024下·北京西城·联考） 函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（ ） A.是奇函数    B.是偶函数 C.是奇函数    D.是偶函数 根据选项特征，对A、B和C、D分别讨论→对于A、B选项，利用奇偶性的定义判断出的对称性→对的奇偶性判断；→对于C、D选项，利用导数的运算性质→→的图象关于点对称→的周期为4→函数为偶函数，得到答案. 详解 模板总结 由是偶函数，得，所以函数的图象关于直线对称； 由是偶函数，得， 所以函数的图象关于直线对称，又， 则关于对称，所以是函数图象的对称中心， 由于不确定的值，所以无法判断函数的奇偶性，故排除选项A、B； 又，由，得， 即，得， 所以函数的图象关于点对称； 由，得，即， 所以，即， 所以函数的周期为4，所以， 所以函数为偶函数，故排除C，选择D. 故选：D 1.    由和分布是偶函数，判断出的对称性，进而对的奇偶性判断，判断选项A、B;由函数的奇偶性判断对称性通常利用奇偶性的定义列式子进行判断. 2.先由奇偶性判断出函数的图象关于点对称，进而得到函数的周期为4，对照选项CD，得到正确答案. 思路点睛： （1）对于函数的奇偶性、对称性和周期性的综合应用，运算和合理赋值，寻找函数图象的对称性是解题的关键. （2）函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称 （2024·安徽黄山·统考一模） 1．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（    ） A．是奇函数 B． C． D． （2024·山西吕梁·统考一模） 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ） A.    B.函数关于直线对称 C.    D.的周期为3 解法一，利用赋值法→令，代入判断A→令，利用奇偶性和对称性的概念判断B→令判断C→令，利用周期性的概念判断D； 解法二，构造拟合函数法→根据题意构造构造函数，依次验证各选项即可. 详解 模板总结 解法一：令，，则，解得，A正确； 令，则， 所以，即是偶函数， 所以，所以函数关于直线对称，B正确； 令，则， 令，则，所以，C正确； 令，则①， 所以②， ①②联立得， 所以，，即的周期为，D错误； 解法二： 构造函数， 满足，且， ，A正确； ， 因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称， 所以关于直线对称，B正确； 由余弦函数的图象和性质可知，C正确； 的周期，D错误； 故选：D 1.    解法一，利用赋值法令，代入判断A；令，利用奇偶性和对称性的概念判断B；令判断C；令，利用周期性的概念判断D； （赋值法是处理抽象函数的一种从常用方法.提出根据式子的结构特点和选项结合起来合理赋值继续判断.） 2.解法二：构造拟合函数，利用函数的性质对四个选项一一判断. （根据题设条件，结合基本初等函数合理的构造一个拟合函数是解题的关键） 关于周期的一些常用结论： 设函数，，，. （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a. （2024·全国·武钢联考模拟预测） 2．已知定义域为的函数，满足 ，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．BCD 【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称， 则， 即，所以，函数为偶函数， 又因为，则， 令，则，所以，为常值函数， 设，其中为常数， 当时，，此时，函数不是奇函数，A错； 对于B选项，因为，令，可得， 即， 等式两边求导得，即， 所以，函数的图象关于点对称， 在等式中，令可得，可得，B对； 对于C选项，因为，则， 可得， 所以，，C对； 对于D选项，在等式两边同时求导得，即， 所以，函数是以为周期的周期函数， 因为，所以，，， ，可得， ，， 由中令，可得，则， ， 所以， ， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则