第11题 三角函数的图象与性质小题 讲义-2024届高考数学二轮复习之每日一题

第11题 三角函数的图象与性质 （2024·河南·部分重点高中阶段测试七） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．是的一个周期 B．的值域是 C．若在区间上有最小值，没有最大值，则的取值范围是 D．若方程在区间上有3个不同的实根，则的取值范围是 根据题意整理可得：，定义域为，且为偶函数． 对于A：若是的一个周期→→与定义域矛盾； 对于B：判断偶函数、周期为→在的值域→在的值域； 对于C：→→由B知； 对于D：方程的实根→与的交点横坐标→→正弦函数性质分析求解． 详解 模板总结 因为， 由题意可知：的定义域为，关于原点对称， 且，可得为偶函数， 对于选项A：因为，可知不是的一个周期， 又因为， 可知是的一个周期，故A错误； 对于选项B：当，则， 可得， 因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值1； 所以，结合偶函数和周期性可知的值域是，故B正确； 对于选项C：因为，由选项B可知：，故C正确； 对于选项D：方程的实根即为与的交点横坐标， 作出在的图象，如图所示： 由题意结合图象可知：， 则， 因为，则，可得， 所以，故D错误； 故选：BC． 1．函数的周期性定义：，周期为T2．具有奇偶性的函数，由于其特殊的对称特征，在求值域时可以只求半个周期的函数值范围． 3．方程根的问题，常转化为函数图象与直线的交点问题，基本初等函数的图象尤为重要． 题型归类：此类含绝对值的函数问题，关键是去绝对值．解题顺序可以归纳为：第一，分析奇偶性、周期性；第二，去绝对值；第三，画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值． 易错点睛：在本题中，选项A要结合定义域分析函数周期性，若不考虑定义域，很容易认为选项A正确；选项C要注意端点值的取舍，定义域的开闭，如果不考虑的右端点取不到，很容易错误地认为． （2024·陕西西安·一模） 1．关于函数，下列选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．在区间上单调递减 C．的最小值为2 D．在区间上有两个零点 （2024·山东青岛·一模） 已知函数，则（ ） A．在区间单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 对于A：由得出→去绝对值→→由的对称轴，以及→在区间不单调； 对于B：计算→判断图象关于直线对称； 对于C：由→→换元→由二次函数，求最值； 对于D：根据极值点、和分段讨论单调性→画出在区间的图象→分类讨论与的端点值、最值→得出每一种情况根的和． 详解 模板总结 对于A：当时，所以， 因为在上单调递增，又， 所以， 因为，即，所以，即， 所以，所以， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不单调，即在区间不单调，故A错误； 对于B：因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为， 令，则，令，， 则在上单调递增，在上单调递减，又，，， 所以，所以的值域为，故C正确； 对于D：当时，所以， 由A选项可令且， 则当时单调递增， 令，即时在上单调递增，且， 所以在上单调递减， 又，令，即时在上单调递减，且， 所以在上单调递增， 当，即时在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 又，，， 所以在上的函数图象如下所示： 由图可知： ①当时与有且仅有一个交点， 即关于的方程在区间的实数根为； ②当或时与有两个交点， 即关于的方程在区间有两个实数根，且两根关于对称， 所以两根之和为； ③当时与有四个交点， 即关于的方程在区间有四个实数根，不妨设为且， 所以与关于对称，与关于对称， 所以； ④当或时与无交点， 即关于的方程在区间无实数根； 综上可得，若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为，故D正确； 故选：BCD 1．对于含有绝对值的函数解析式，首先考虑是否能够去掉绝对值，再进行分析．2．复合函数的单调性满足规律“同增异减”．本题A选项中与外层二次函数对称轴的大小比较也是本题关键． 3．判断函数关于对称，可以判断以下三个等式是否成立： ①， ②； ③ 4．求函数的最值，往往需要求出端点值、极值进行比较，特别是端点值的比较． 5．复杂函数的图像要严格划分单调区间、特殊值点、变化趋势，比如本题D中通过、、、单调性的讨论，处的函数值的讨论，都是画出函数草图的关键． 1．解题关键点：分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和． 2．函数对称性规律总结： ①函数关于对称，，； ②函数关于对称，，． 3．方程解的个数，一般转化为函数的图象与直线的交点问题，可以通过平移直线进行讨论． （2024·河北唐山·一模） 2．已知函数的最小正周期为π，则（   ） A．在单调递增 B．是的一个对称中心 C．在的值域为 D．是的一