第10题 导数压轴大题归类（2）讲义-2024届高考数学二轮复习之每日一题

第10题 导数压轴大题归类（2） （2024·甘肃陇南·一模） 已知函数 （1）讨论 的单调性. （2）证明:当时， （3）证明: （1）求导→按照的正负，讨论正负得解→判断函数的单调性，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论→利用导数判断单调性→求出最小值证明. （3）由（2），当时，有→令，，代入运算得证. 详解 模板总结 （1），， …………1分当时，易知， 所以函数在R上单调递减， …………2分 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在R上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增.…………4分 （2）令，， ，令，， 则，所以在上单调递增，…………5分 当时，，又， 有，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，而此时， …………7分 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又， 所以存在，使得，即， ，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， …………9分 下面证明，， 令， ， 所以在上单调递增， ， 即得证，即成立， 综上，当时，成立.…………11分 （3）由（2），当时，有， 即， …………12分 令，， 得， …………13分 ， ， 即.…………15分 1.利用导数求单调区间、极值、最值用的是同一个思路：求导→由导函数的正负求单调区间→求极值→求最值. 2.对参数a分类讨论 （分类讨论的标准：①最高此项系数是否能为0；②是否有根；③方程的几个根的大小比较） 3.隐零点问题关键是由得到，借助于判断出函数的单调性，求出的最小值. 利用导数证明数列型不等式，关键是根据结构形式构造函数，再对x赋值，利用数列知识求和即可证明. 在本题第一问，求出导数，对正负分类讨论，研究导数正负从而得函数的单调性；第二问，令，利用导数研究的单调性，最值，注意分和讨论，对时的情况，结合隐零点和基本不等式求出，问题转化为证明，，构造函数证明；第三问，利用（2）的结论，当时，，令，，得证. （2024·山东济宁·一模） 1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； (3)设，，数列的前项和为．证明：． （2024·广东广州·二模） 已知函数. （1）证明：恰有一个零点，且； （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值. （i）设，求的解析式； （ii）证明：当，总有. （1）求出的导数→判断函数的单调性→利用零点存在性定理证明即可； （2）（i）先由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为→令得→即可求解； （ii）令→构造函数，结合函数单调性证明→再根据，证明→即可得答案. 详解 模板总结 （1），定义域为，所以，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， …………2分 因为， ， 所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且； …………4分 （2）（i）由（1）知， 所以，曲线在处的切线斜率为， 所以，曲线在处的切线方程为， 即， …………5分 令得， 所以，切线与轴的交点，即， 所以，； …………8分 证明：（ii）对任意的，由（i）知，曲线在，处的切线方程为：， 故令， 令， …………9分 所以，， …………10分 所以，当时，，单调递增，当，时，，单调递减， 所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立， …………12分 另一方面，由（i）知，，且当时，， （若，则，故任意，显然矛盾）， 因为是的零点， 所以， 因为为单调递增函数， 所以，对任意的时，总有， …………13分 又因为， 所以，对于任意，均有， 所以，，， 所以， …………14分 综上，当，总有.…………15分 1.判断根的存在性通常利用零点存在定理.2.导数与数列结合，属于知识交汇处的考查，需要同学们加强训练. 3.利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，