第9题 导数压轴大题归类（1）讲义-2024届高考数学二轮复习之每日一题

第9题 导数压轴大题归类(1) (2024 江苏宿迁 一模) 已知函数. (1)若,求的极小值; (2)若过原点可以作两条直线与曲线相切,求的取值范围. (1)求导 判断函数的单调性 根据导数与极值的关系,即可求得答案; (2)设切点分别为 根据导数的几何意义,表示出切线方程 将原问题转化为方程两个不同的根的问题,构造函数 利用导数求得其最小值的表达式,分类讨论,结合零点存在定理,即可求得答案. 详解 模板总结 (1)由,得, 令得,则在上单调递减, 令得, 则在上单调递增, 则的极小值为; (2), 设切点分别为, 则在处的切线方程为 . 又切点过原点,所以, 即,同理, 所以为方程两个不同的根, 设,则, 若,则在单调递减,不可能有两个不同的根,不符合题意; 若,令得,在单调递减, 令得在单调递增, 所以, 若,即,则, 此时方程没有两个不同的根, 不符合题意; 若,即,, 因为,所以,所以, 令,则, 所以在上单调递增,, 即. 又的图象是不间断的曲线, 所以存在满足使得, 所以的取值范围是. 1. 利用导数求单调区间、极值、最值用的是同一个思路: 求导 由导函数的正负求单调区间 求极值 求最值. 2.设出切点,利用导数求出切线的方程. (导数的几何意义即为切线的斜率) 3.由同构形式构造方程,转化为方程两个不同的根. 4. 对参数a分类讨论 (分类讨论的标准:①最高此项系数是否能为0;②是否有根;③方程的几个根的大小比较) 利用导数研究零点(方程的根)问题: (1)确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象; (2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g(x)的方法,把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题; (3)利用导数硏究函数零点或方程根,通常有三种思路:①利用最值或极值研究;②利用数形结合思想研究;③构造辅助函数硏究. (2024 四川成都 二模) 1.已知函数的导函数为. (1)当时,求的最小值; (2)若存在两个极值点,求a的取值范围. (2024 甘肃平凉 模拟预测) 已知函数. (1)判断的单调性; (2)设方程的两个根分别为,求证:. (1)求导 由和求解; (2)令 利用导数求出在上的单调性 将证转化为证 再由,转化为证 令,利用导数法证明即可. 详解 模板总结 (1)因为,所以, 令,得, 当时,,当时,, 所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.. (2)令,则, 令,得, 当时,,当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增. 又,所以不妨设. 要证,即证,即证. 因为, 所以即证.令, 则, 所以在上单调递减, 所以, 从而必有. 即. 1.利用导数求函数的单调性. 2. 根据结构的对称性构造函数 (极值点偏移常用处理方法的步骤: 待证明(或): ①首先构造函数,求导,确定函数和函数的单调性; ②确定两个零点,且,由函数值与的大小关系,得与零进行大小比较; ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小,从而证明相应问题。) 极值点偏移问题,通常会构造差函数来进行求解,若等式中含有参数,则消去参数,由于两个变量的地位相同,将特征不等式变形,如常常利用进行变形,可构造关于的函数,利用导函数再进行求解. (2024 山西晋城 一模) 2.已知函数. (1)若恒成立,求的取值范围; (2)若有两个零点,证明:. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.(1)2 (2) 【分析】 (1)求导判断函数的单调性即可求解, (2)求导,分类讨论导函数的正负,结合零点存在性定理即可求解. 【详解】(1) 当时,,,, 令函数,,则有, 当时,,为减函数;当时,,为增函数, 所以,即的最小值为2; (2) 因为,有, 令,有, ①当时,因为,所以,即在上为增函数, 所以至多存在一个,使得,故不存在两个极值点, ②当时,解,得, 故当时,,为减函数,当时,, 为增函数,所以, ( ).当,即时,,在上为增函数, 故不存在极值点, ( ).当,即时, 又因为,所以, 又由第(1)问知,故,所以, 又因为,又, 所在,使得, 且在,上为增函数,在上为减函数, 所以,分别是的极大值点和极小值点, 综上所述,的取值范围为. 【点睛】方法点睛: 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形