2.3.1 课时2 一元二次不等式及其解法（二） 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 一元二次不等式 1 2.3.1 一元二次不等式及其解法 课时2 一元二次不等式及其解法（二） 2 1.会解简单的分式不等式.（数学运算） 2.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.如何判断二次函数 的图象与 轴的位置关系？ [答案] 二次函数 的图象与 轴的相关位置，分为三种情况， 这可以由一元二次方程 的判别式 的三种取值情况来确 定.当 时，二次函数图象与 轴有两个交点；当 时，二次函数图象与 轴 有一个交点；当 时，二次函数图象与 轴无交点. 自主预习 4 2.若一元二次不等式 的解集为 ，则实数 应满足什么条件？ [答案] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 的解集为 ，则 解得 ，所以不存在 使不等式 的解集为 . 3.不等式 与 的解集相同吗？ [答案] 相同. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）不等式 的解集是 . ( ) × （2）若 ，则关于 的一元二次不等式 有解的充要条件是 . ( ) √ 2.不等式 的解集为________________. <m></m> [解析] 解得 . 6 3.已知不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_ ________. <m></m> [解析] 由题意知 ，即 ， 得 ，即实数 的取值范围为 . 7 探究1 分式不等式的解法 问题1： 已知函数 的图象与 轴交点的横坐标分别是2,3,则不等式 的解集是什么？ [答案] 不等式 的解集是 或 . 合作探究 8 问题2： 与 等价吗？将 变形为 , 有什么好处？ [答案] 等价,好处是将不熟悉的分式不等式化为已经熟悉的一元二次不等式. 9 新知生成 1.解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,再注意含等号的分式不等式的分母不为零. 2.分式不等式的4种形式及解题思路 令 , , （1） ； （2） ； （3） 且 或 ； （4） 且 或 . 10 3.不等式与不等式组的等价关系 （1） 或 （2） 或 （3） 或 （4） 或 11 新知运用 例1 解下列不等式： （1） ；（2） . 方法指导 将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 12 [解析] （1） , 原不等式的解集为 . （2） , , ,即 . 此不等式等价于 且 ,解得 或 , 原不等式的解集为 . 13 &1& 1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分（不要去分母）,使之转化为不等号右边为零的不等式,然后用上述方法求解. 14 解下列不等式： （1） ；（2） . 15 [解析] （1）根据商的符号法则,不等式 可转化成不等式组 解得 或 . 故原不等式的解集为 或 . （2）不等式 可改写为 ,即 . 可将这个不等式转化成 , 解得 . 所以原不等式的解集为 . 16 探究2 不等式恒成立问题 问题1： 若一元二次不等式 的解集为 ,则二次函数 的图象是怎样的？ [答案] 二次函数 的图象有两种情况,如图所示. 17 问题2： 若一元二次不等式 的解集为 ,则 , , 应满足什么关系？ [答案] 且 . 18 新知生成 一般地,“不等式 在 上恒成立”的几何意义是函数 在 上的图象全部在 轴上方. 是不等式 的解集的子集. 令 ,恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题,即 恒成立 ； 恒成立 . 19 新知运用 例2 对于一切实数 , 恒成立,求实数 的取值范围. 方法指导 分类讨论,联想二次函数的图象进行求解. [解析] 已知 恒成立, 若 ,显然 ,满足题意； 若 ,则 即 . 综上所述,实数 的取值范围为 . 20 &2& 对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大（小）于或等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解,也可以分离变量,转化为二次函数的最值问题求解. 21 已知不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围. [解析] （法一） 不等式 的解集为 , 函数 的图象应在 轴上方, , 解得 或 . （法二）由 ,得