2.2 从函数观点看一元二次方程 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 从函数观点看一元二次方程 1 1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数.（数学运算） 2.了解函数的零点与方程的根的关系.（逻辑推理、数学运算） 3.会求一元二次方程的根以及二次函数的解析式.（数学运算） 学习目标 2 1.一元二次函数的一般形式是什么？ [答案] 其一般形式为 . 2.如何求一元二次函数的解析式？ [答案] 若已知二次函数图象上的三点，可设二次函数的一般式，通过建立方程求解； 若已知顶点坐标，可设为配方式 ，建立方程求解. 自主预习 3 3.如何求一元二次函数图象与 轴的交点？ [答案] 令 ，解方程即可. 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 是一元二次函数. ( ) × （2）函数 的零点为2和0. ( ) √ （3）函数 有两个零点. ( ) × 2.已知某一元二次函数的图象与函数 的图象的形状一样，开口方向相反，且其 顶点为 ，则此函数的解析式为_ __________________. <m></m> 5 3.已知二次函数 的两个零点分别是2和3，求 ， 的值. [解析] 因为二次函数 的两个零点分别是2和3， 所以 的两个根分别为2和3， 所以 ， ，即 ， . 6 探究1 一元二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系 观察下列一元二次方程与对应的二次函数： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 . 合作探究 7 问题1： 上述一元二次方程是否有实根？若有，请求出. [答案] （1）有两个不等实根， ， ； （2）有两个相等实根， ；（3）无实根. 8 问题2： 画出上述一元二次函数的简图，观察图象与 轴交点的横坐标与一元二次方 程的根之间的关系. [答案] （1）如图①，图象与 轴的交点为 , ，图象与 轴交点的横坐标即 相应方程的根；（2）如图②，图象与 轴的交点为 ，图象与 轴交点的横坐标 即相应方程的根；（3）如图③，图象与 轴无交点，相应方程无实根. 9 新知生成 当 时，一元二次方程 的根与二次函数 的 图象之间的关系如表所示： 判别式 的图象 的根 有两个相异的实根 , 有两个相等的实根 没有实根 10 新知运用 例1 二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下 列问题： （1）写出方程 的两个根； （2）若方程 有两个不等实根，求实数 的 取值范围. [解析] （1）观察图象可知,方程 的两个根分别是 ,3. （2）若 有两个不等实根，即二次函数 的图象 与直线 有两个交点，结合图象可知 ，解得 . 11 &1& 涉及方程根的问题常转化为二次函数的图象与直线的交点问题，利用数形结合求解. 12 二次函数 的图象如图所示，且经过点 . （1）求方程 的根和对应的二次函数解析式； （2）若方程 无实根，求实数 的取值范围. 13 [解析] （1）由图可知， 的两个根分别为 ,2. 设二次函数的解析式为 ， 把点 代入，解得 ， 所以对应的二次函数解析式为 . （2）由（1）得 ， 所以结合图象可知,当 ，即 时，方程 无实根. 14 探究2 二次函数的零点 已知 . 问题1： 当 时,一元二次方程 的根与二次函数 的图象之间的关系是怎样的? [答案] 当 时，二次函数的图象开口向下，若 ，二次函数的图象与 轴有2 个交点，交点的横坐标即相应方程的根；若 ，二次函数的图象与 轴有1个交点， 交点的横坐标即相应方程的根；若 ，二次函数的图象与 轴无交点，此时相应 的方程无实根. 15 问题2： 什么是二次函数的零点？ [答案] 一元二次方程 的根就是二次函数 当函数值取零时自变量 的值,即二次函数 的图象 与 轴交点的横坐标,也称为二次函数 的零点. 问题3： 二次函数的零点就是二次函数图象与 轴的交点吗? [答案] 不是,二次函数的零点是二次函数图象与 轴交点的横坐标. 16 新知生成 一元二次方程 的实数根就是二次函 的零点,也就是二次函数 的图象与 轴交点的横坐标. 17 新知运用 例2 求下列函数的零点. （1） ； （2） ； （3） ,其图象如图所示. 18 方法指导（1）直接解出相应方程的根；（2）对二次项的系数 分 ， 两类 进行讨论，当 时，还要比较两根的大小；（3）根据相应函数的图象，找到其