2.1.2 基本不等式 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 相等关系与不等关系 1 2.1.2 基本不等式 2 1.通过具体实例抽象出基本不等式的内容，能理解及证明基本不等式.（数学抽象、逻辑推理） 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.（逻辑推理、数学运算） 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.（逻辑推理） 学习目标 3 1.如果 ， ，用 ， 分别代替不等式 中的 ， ，可得 到怎样的不等式？ [答案] . 自主预习 4 2.不等式 和 成立的条件是否相同？若不同，请举例说明. [答案] 成立的条件不同，前者成立的条件是 与 都为实数；而后者成立的条件是 与 都为非负数.例如， 是成立的，而 是不成立的. 3.基本不等式中的 ， 可以是任意值为正数的代数式吗？ [答案] ， 可以是任意正数，也可以是代数式. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）对于任意 ， ，都有 . ( ) √ （2）当 时， . ( ) √ （3）当 时， . ( ) × 6 2.已知 ，则下列不等式正确的是( ). C A. B. C. D. [解析] 当 时， , ，故A，B错误. 当 时，由基本不等式的性质可得 , ,故C正确，D 错误. 7 3.不等式 成立的前提条件为_______. <m></m> [解析] 因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以 ，即 . 4.已知 ， ， 都是正数，求证： . [解析] ， ， 都是正数， ， ， ， ， ， 即 ，当且仅当 时等号成立. 8 探究1 不等式定理 问题： 我们知道 ，你能得出什么样的重要关系？ [答案] 因为 ，所以 . 合作探究 9 新知生成 定理：对任意 , ,必有 ，当且仅当 时等号成立. 新知运用 例1 已知 ， ， ，求证： . 方法指导 观察不等式和与积的特征，利用重要不等式证明. [解析] 由重要不等式可得 ， 同理， ， ， ， 从而 . 10 &1& 用重要不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明. 设 , ，证明： . [解析] , ， , ， . 11 探究2 不等式定理的推论 如图， 是圆 的直径， 是 上任意一点， ， ，过点 作 垂直于 且交圆 于点 ， 垂足为 ,连接 ， . 问题1： 如何用 ， 表示 ， 的长度？ [答案] .易证 ，则 ，即 . 12 问题2： 比较 ， 的长度，能得出什么结论？ [答案] 的长度大于或等于 的长度，通过两者的关系可以得出 . 13 新知生成 1.推论 对任意 , ，必有 ，当且仅当 时等号成立. 2.算术平均数、几何平均数 一般地，对于正数 ， ，我们把 称为 ， 的算术平均数， 称为 ， 的几 何平均数. 3.基本不等式 定理和推论中的不等式通常称为基本不等式. 14 新知运用 例2 （多选题）下列结论正确的是( ). BC A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为0 D. 的最小值为2 方法指导 利用基本不等式逐项分析即可. 15 [解析] A中，没有考虑 的情况，A错误； B中， ，当且仅当 ，即 时等号成立，B正确； C中， ，当且仅当 ，即 时等号成立，C正确； D中， ，而当 时， 无 解，故取不到2，D错误. 16 基本不等式 反映了两个非负数的和与积之间的关 系.对它的准确掌握要抓住两个方面 （1）定理成立的条件： , 都是非负数. （2）“当且仅当”的含义：①当 时， 的等号成立，即 ；②仅当 时， 的等号成立，即 . 17 下列命题正确的是( ). B A.当 ， 时， B.当 ， 时， C.当 时， D.当 ， 时， 18 [解析] A中，当 时不等式不成立，所以A不正确；B中，因为 ， ，相乘得 ，当且仅当 时等号成立，所以B正确；C中， 中的等号不成立，所以C 不正确；D中，由基本不等式知， ，所以D不正确.故选B. 19 探究3 基本不等式的简单应用 小区有一个面积为8的直角三角形花