第2章平面解析几何初步 章末小结学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第2章 章末小结 【知识导图】 【题型探究】 直线的倾斜角与斜率 例1　已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　.  小结　求直线的倾斜角与斜率的注意点:(1)求直线的倾斜角,关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正方向之间所成的角,同时应明确倾斜角的范围.(2)当直线的倾斜角α∈0,时,随着α的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角α∈,π时,随着α的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大. 直线方程及其应用 例2　在平面直角坐标系中,已知菱形ABCD的顶点A(-1,2)和C(5,4),AB所在直线的方程为x-y+3=0. (1)求对角线BD所在的直线方程; (2)求AD所在直线的方程. 小结　求直线方程的两种方法:(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.(2)待定系数法:设定含有参数的直线方程,由条件求出参数,最后代入直线方程. 两条直线的位置关系 例3　设常数m∈R,已知两条直线l1:mx+3y-1=0,l2:x+(m-2)y+1=0. (1)若l1与l2垂直,求m的值. (2)若l1与l2平行,求m的值. 小结　两条直线的位置关系的判断方法及注意点:(1)判断方法:两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种,主要考查两条直线的平行和垂直,通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.(2)注意点:解题时要注意分析斜率是否存在,用一般式方程来判断,可以避免讨论斜率不存在的情况. 距离问题 例4　点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C. D.2 小结　距离问题的解决方法:牢记各类距离的公式并能直接应用,解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.本题考查了逻辑推理、数学运算的素养. 圆的方程 例5　(1)(2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0 上,点(3,0) 和(0,1) 均在☉M 上,则☉M 的方程为　　　　　　　.  (2)(2022年全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程为　　　　　　.  小结　求圆的方程的方法:先设出圆的标准方程或一般方程,然后利用待定系数法解题. 直线与圆的位置关系 例6　(1)(多选题)(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　). A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 (2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一条直线的方程:　　　　　.  小结　直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断点、直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.本题渗透了逻辑推理、数学运算的素养. 弦长问题 例7　(多选题)(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　). A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 小结　直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距d,圆的半径r及半弦长构成的直角三角形.本题渗透了直观想象、逻辑推理、数学运算的素养. 圆与圆的位置关系 例8　已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0. (1)证明圆C1与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程; (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 小结　判断两圆位置关系的两种比较方法 (1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较,得到两圆位置关系. (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题,转化为方程组解的组数问题,从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系,而不能像几何法一样,能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系. 【拓展延伸】 阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一