3.1.2 课时2 椭圆简单几何性质的应用学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.1.2　课时2　椭圆简单几何性质的应用 【学习目标】 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断点、直线与椭圆的位置关系.(逻辑推理) 2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.点与圆有几种位置关系?点与椭圆呢? 2.判断直线与圆的位置关系有哪几种方法? 3.能否利用判断直线与圆的位置关系的几何法判断直线与椭圆的位置关系? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)点P(2,1)在椭圆+=1的内部. (　　) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. (　　) (3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+=1相交. (　　) (4)直线y=k(x-a)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交或相切. (　　) 2.(多选题)已知点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上 3.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(　　). A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 4.已知直线y=kx+1与椭圆+y2=1相交于A,B两点,若AB中点的横坐标为1,则k的值为　　　　　.  【合作探究】 探究1：点与椭圆的位置关系 情境设置 　　问题:如何判断点与椭圆的位置关系? 新知生成 点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系: 点P在椭圆上⇔ +=1　;  点P在椭圆内部⇔ +<1　;  点P在椭圆外部⇔ +>1　.  新知运用 例1　若直线y=kx+1恒过定点A,且点A位于焦点在x轴上的椭圆+=1的内部(含边界),求实数m的取值范围. 方法指导　先求定点A,然后根据点A在椭圆内部(含边界),建立不等式求解. 【方法总结】判断点与椭圆的位置关系,可将点的坐标代入椭圆方程,然后判断.已知关键点的位置求参数范围,可根据点的位置建立不等式求解. 巩固训练 　　已知直线l过点(3,-1),且椭圆C的方程为+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1 B.1或2 C.2 D.0 探究2：直线与椭圆的位置关系 情境设置 　　问题1:如图所示,移动直线l,观察直线l与椭圆有几种位置关系. 问题2:已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系? 新知生成 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:由消去y(或x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离 无解 Δ<0 新知运用 例2　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不同的公共点? (2)有且只有一个公共点? (3)没有公共点? 方法指导　联立直线与椭圆方程,将原问题转化为关于x的一元二次方程解的个数的判断问题. 【方法总结】判断直线与椭圆的位置关系的方法 巩固训练 　　在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围. 探究3：弦长与中点弦问题 情境设置 　　问题1:借助椭圆图形分析,你认为椭圆+=1(a>b>0)上的点到焦点的距离的最大值和最小值各是多少? 问题2:如何求直线与圆相交的弦长?能用此法求直线与椭圆相交的弦长吗? 新知生成 1.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程,构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点, 则 由①-②,得(-)+(-)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-. 2.求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆两个交点的坐标,用两点间的距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式:|P1P2|=·|P1P2|=·,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 特别提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.