3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.1.2　课时1　椭圆的简单几何性质 【学习目标】 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(直观想象) 2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(数学运算) 3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 1.我们前面学过的椭圆是怎样定义的?椭圆的标准方程怎么表示? 2.椭圆+=1(a>b>0)中x,y的取值范围各是什么? 3.椭圆+=1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么? 4.椭圆+=1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么? 5.椭圆的离心率怎么表示?其取值范围是什么? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点. (　　) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c. (　　) (3)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆. (　　) (4)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a. (　　) 2.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　). A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.x2+=1 3.若椭圆短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为(　　). A. B. C. D. 4.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.  【合作探究】 探究1：　椭圆的范围、对称性、顶点 情境设置 　　问题1:如何求椭圆方程+=1(a>b>0)中x,y的取值范围呢? 问题2:若椭圆方程为+=1(a>b>0),你能比较准确地画出它的图形吗? 问题3:关于x轴、y轴及原点的对称点的特征是什么?如何利用方程说明椭圆的对称性? 问题4:椭圆+=1(a>b>0)上的哪些点比较特殊?如何得到这些点的坐标? 新知生成 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 +=1(a>b>0)  +=1　(a>b>0)  范围 　-a≤x≤a且-b≤y≤b　  　-b≤x≤b且-a≤y≤a　  对称性 对称轴为　坐标轴　,对称中心为　原点　  顶点 　A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)　  　A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)　  轴长 短轴长|B1B2|=　2b　,长轴长|A1A2|=　2a　  焦点 　F1(-c,0),F2(c,0)　  　F1(0,-c),F2(0,c)　  焦距 |F1F2|=　2c　  　　特别提醒:(1)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (2)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c. (3)通径:过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,其长为;过焦点最长的弦为长轴. 新知运用 例1　求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标. 方法指导　由题目可获取以下主要信息:①已知椭圆的方程;②研究椭圆的几何性质.解答本题可先把方程化成标准形式,然后写出其几何性质. 【方法总结】用标准方程研究几何性质的步骤:(1)将椭圆方程化为标准形式;(2)确定焦点位置;(3)求出a,b,c的值;(4)写出椭圆的几何性质. 巩固训练 (1)已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则(　　). A.椭圆C1与C2的顶点相同 B.椭圆C1与C2的长轴长相同 C.椭圆C1与C2的短轴长相同 D.椭圆C1与C2的焦距相等 　　(2)椭圆+=1上的点P到其右焦点的距离的(　　). A.最大值为5,最小值为4　　B.最大值为10,最小值为8 C.最大值为10,最小值为6 D.最大值为9,最小值为1 探究2：椭圆的离心率 情境设置 　　问题1:e的变化对椭圆的形状有什么影响? 问题2:你能利用三角函数的知识解释为什么e越大椭圆越扁平,e越小椭圆越接近于圆吗? 问题3:如何用a,b表示离心率? 新知生成 1.定义:将椭圆的半焦距与长半轴长的比称为椭圆的离心率,用e表示,即e=. 2.性质:椭圆离心率e的取值范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,这时,图形变成圆,它的方程为x2+y2=a2. 新知运用 例2　直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　). A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 方法指导　根据已知条件建立方程,结合a,b,