2.7 用坐标方法解决几何问题 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.7　用坐标方法解决几何问题 【学习目标】 1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程.(逻辑推理、数学运算) 2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程.(直观想象、数学运算) 3.初步掌握求曲线方程的方法,解决一些较为复杂的几何问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.什么是坐标法? 2.用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤是什么? 3.求轨迹方程的一般步骤是什么? 自学检测 1.某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. x2+y2=25 B. x2+y2=25(y≥0) C.(x+5)2+y2=25(y≤0) D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化 2.当点P在圆x2+y2=1上运动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　). A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 3.已知等腰三角形ABC的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一端点的轨迹方程. 【合作探究】 探究1：用坐标法解决几何问题 情境设置 　　如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,过点B作△ABC的外接圆的切线交线段AC的延长线于点D,则线段AD的长是多少? 问题1:若用坐标法解决上面问题,应怎样建立平面直角坐标系? 问题2:结合问题1所建立的平面直角坐标系求圆的方程和AD的长. 新知生成 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 第一步,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆等,把平面几何问题转化为代数问题. 第二步,通过代数运算,解决代数问题. 第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论. 新知运用 例1　如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且AB⊥CD,E为垂足.利用坐标法证明:E是CD的中点. 【方法总结】坐标法解题的关键是建立平面直角坐标系,建立坐标系的原则:(1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴;(2)充分利用图形的对称性;(3)让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称;(4)关键点的坐标易求得. 巩固训练 如图所示,在圆O上任取一点C为圆心,作圆C,与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F,且EF与CD相交于H.利用坐标法证明:EF平分CD. 探究2：求轨迹方程 情境设置 　　问题1:若点A(-1,0),B(1,0),则到A,B两点距离相等的点的轨迹是什么?其方程又是什么? 问题2:已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,你能求出点M的轨迹方程吗? 新知生成 1.坐标法解决轨迹问题的基本思想 笛卡儿创立解析几何后,人们借助坐标系把形与数联系起来,使几何问题可以通过建立坐标,用代数方法来解决.在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中,我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系,也可以将图形用向量语言来描述,用向量运算来解决,再转化为坐标之间的关系. 2.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系; (2)设动点的坐标为(x,y); (3)找出限制动点的几何条件; (4)将坐标代入几何关系; (5)化简式子. 3.求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明. (2)定义法:当动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,可将x1,y1用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中,得到点P的轨迹方程. 特别提醒:在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上,故应排除不合适的点. 新知运用 例2　若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,求点M的轨迹围成的区域的面积. 【方法总结】一般地,求轨迹方程就是找等量关系求等式.先把等量关系用坐标表示出来,再进行变形化简,就得到相应的轨迹方程.求轨迹方程的关键就是建立坐标系,找等量关系. 巩固训练 已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程. 【随堂检测】 1.一辆货车宽1.6米,若要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 2.若Rt△ABC的斜边的两个端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为(　　). A.x2+y2