2.6.2 圆与圆的位置关系学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.6.2　圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.理解并掌握圆与圆的五种位置关系的性质及判定.(直观想象) 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.在之前,我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系,那么圆与圆的位置关系又有几种呢? 2.如何判断出两圆的位置关系? 3.已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如何通过代数的方法判断两圆的位置关系? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,那么两圆外切. (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交. (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　) (4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　) 2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系为(　　). A.相离　　　　　　　　　　B.相交 C.外切 D.内切 3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程是　　　　.  4.已知圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切,求实数m的值. 【合作探究】 探究1：圆与圆的位置关系 情境设置 　　某地12月24日拍到的日环食的全过程,如图所示. 可以用两个圆来表示上述变化过程. 根据上图,结合平面几何,判断圆与圆的位置关系有几种.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系? 问题:判断两圆的位置关系有什么方法? 新知生成 1.圆与圆的位置关系 圆与圆之间存在以下三种位置关系: (1)两圆相交,有两个公共点; (2)两圆相切,包括内切与外切,只有一个公共点; (3)两圆相离,包含外离与内含,没有公共点. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判定方法如下: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| 0≤d<|r1-r2| 　(2)代数法:通过两圆方程组成的方程组的公共解个数进行判断. 一元二 次方程 新知运用 例1　已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 【方法总结】几何法判断圆与圆的位置关系的一般步骤:(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式,此步骤不需要);(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径r1,r2;(3)求两圆的圆心距d;(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系;(5)根据大小关系确定位置关系. 巩固训练 　　两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　). A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 探究2：两圆相交问题 情境设置 　　已知两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-6x+2y+1=0. 问题1:你能判断出两圆的位置关系吗? 问题2:若将两个相交的圆的方程相减,你发现了什么?所得方程具有什么特性? 新知生成 1.若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.两圆公共弦长的求法 ①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解. 新知运用 例2　已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交. (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 方法指导　(1)本题可先通过圆C1和圆C2的方程得出它们的圆心和半径长,再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比,即可得出结果;(2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程,再通过圆心到公共弦的距离以及半径利用勾股定理得出结果. 【方法总结