2.5.1 圆的标准方程学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.5.1　圆的标准方程 【学习目标】 1.理解圆的定义,体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理) 2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算) 3.结合圆的标准方程,体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象) 【自主预习】 预学忆思 1.圆的定义是什么? 2.确定圆的基本要素是什么? 3.已知圆的圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出该圆的方程吗? 4.点与圆的位置关系有几种? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　) (2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),则此圆的半径一定是a. (　　) (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. (　　) (4)若某点正好是圆的圆心,则该点是圆上的点. (　　) 2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　). A.(-2,3),1　　　　　　 B.(2,-3),3 C.(-2,3), D.(2,-3), 3.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是　　　　.  4.已知点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m上,求圆的方程. 【合作探究】 探究1：圆的标准方程 情境设置 　　“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮,它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米,转盘直径为153米. 　　问题1:游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗? 问题2:若以摩天轮的中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,则游客在任一点(x,y)的坐标满足什么关系? 问题3:以(1,2)为圆心,3为半径的圆上任一点的坐标(x,y)满足什么关系? 问题4:确定圆的标准方程需具备哪些条件? 新知生成 　　圆的标准方程 (1)圆的定义:圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合. (2)圆的基本要素是圆心和半径. (3)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 特别提醒:(1)由圆的标准方程来看,要确定圆的标准方程需要三个独立的条件:圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径. (2)当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点O为圆心、r为半径的圆. 新知运用 例1　求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程. 方法指导　(法一)利用待定系数法,设出圆的标准方程,根据条件建立关于参数的方程组求解;(法二)利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求圆的方程;(法三)借助圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而求出圆的方程. 【方法总结】求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法:利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,其步骤为设方程、列式、求解. 巩固训练 　　求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心是(4,0),且过点(2,2); (2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4). 探究2：点与圆的位置关系 情境设置 爱好运动的李峰、张强、刁鹏三人进行掷飞镖比赛,他们把靶子钉在土墙上,规定谁的飞镖离靶心O越近,谁获胜,如图,A,B,C分别是他们掷一轮飞镖的落点. 问题1:点与圆的位置关系有哪几种? 问题2:如何判断他们的胜负? 新知生成 1.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系判断: d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;d<r⇔点在圆内. 2.根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断: (x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内. 新知运用 例2　(1)写出圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上. (2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求实数a的取值范围. 　 【方法总结】　(1)判断点与圆的位置关系的方法:①只需计算该点与圆心的距离,与半径作比较即可;②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的连接符号,并作出判断. (2)若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数的取值范围. 巩固训练 　　已知点(1,1