2.4 点到直线的距离 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.4　点到直线的距离 【学习目标】 1.领会两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算) 2.能灵活运用两点间的距离公式、点到直线的距离公式解决相关问题.(直观想象、数学运算) 3.初步学会使用解析法研究几何问题.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2两点间的距离|P1P2|? 2.如何用代数法求点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离? 3.能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离?如果能,如何转化? 4.在使用点到直线的距离公式时,对直线方程的形式有何要求? 5.如何求两条平行直线间的距离? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程是一样的. (　　) (2)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|. (　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. (　　) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. (　　) 2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5 3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为(　　). A.1 B. C. D.2 4.若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为　　　　.  【合作探究】 探究1：两点间的距离公式 情境设置 　　在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和C,现在计划在公路上某处建一个公交站点,以方便两村村民的出行. 问题1:如何选址能使站点到两个村的距离之和最小? 问题2:如果点A,B在x轴上,那么怎样求|AB|? 问题3:如果点A,B在y轴上,那么怎样求|AB|? 问题4:如果点A,B不在坐标轴上,那么如何求|AB|? 新知生成 　　两点间的距离公式 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式|P1P2|=. (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|. 当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|. 当点P1,P2中有一个是原点时,|P1P2|=或|P1P2|=. 新知运用 例1　(1)已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. (2)已知点M(x,-4)与点N(2,3)间的距离为7,求实数x的值. 方法指导　(1)设出点P的坐标,建立方程求解;(2)根据两点间的距离公式,列方程求解. 【方法总结】已知两点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求两点间的距离,可直接运用两点间的距离公式|P1P2|=.若已知两点间的距离,求点的坐标,可设未知数,逆用两点间的距离公式列出方程,从而解决问题. 巩固训练 1.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　). A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 2.在直线2x-3y+5=0上求点P,使点P到A(2,3)的距离为,则点P的坐标是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(5,5) B.(-1,1) C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1) 探究2：点到直线的距离公式 情境设置 在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路. 问题1:请同学们帮助设计一下,在理论上怎样铺路可以使这条连接饭馆和公路的道路最短? 问题2:能用向量求饭馆(设为点P)到公路(设为直线l)的距离吗?如何求? 问题3:你能归纳出点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式吗? 问题4:使用点到直线的距离公式,对直线方程有什么要求? 问题5:在直线方程Ax+By+C=0中,当A=0或B=0时,点到直线的距离公式是否成立? 新知生成 　　点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=. 点到几种特殊直线的距离: (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|. 新知运用 例2　求点P(3,-2)到下列直线的距离. (1)y=x+;(2)y=6;(3)