2.3.1 两条直线平行与垂直的判定学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 【学习目标】 1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(直观想象) 2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直.(逻辑推理) 3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.我们知道,平面中的两条不重合直线有两种位置关系:相交、平行.当直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系?证明你的结论. 2.两条直线平行,它们的斜率一定相等吗? 3.当两条相交直线的斜率都存在时,它们的斜率不相等;反之,当两条直线的斜率不相等时,它们相交.在相交的位置关系中,垂直是最特殊的情形,直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若不重合的两条直线的斜率相等,则这两条直线平行. (　　) (2)若l1∥l2,则k1=k2. (　　) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直. (　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行. (　　) 2.已知点A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率kl=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-3 B.3 C.- D. 3.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　　). A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 4.已知l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=　　　　.  【合作探究】 探究1：两条直线平行的判定 情境设置 　　问题1:如果两条直线中某条直线的斜率不存在,那么怎么判断它们的位置关系? 问题2:如何用斜率关系证明三点共线? 新知生成 　　两条直线平行 (1)两条直线都有斜率且不重合时的平行 已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2. (2)特殊情况下的两条直线的平行 若两条平行直线中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率也不存在,反之,若两条不重合直线的斜率都不存在,则这两条直线平行. 特别提醒:讨论两条直线平行时,要分斜率存在和斜率不存在两种情形,缺少任何一种情形都有可能发生错误. 新知运用 例1　求m,n的值,使直线l1:y=(m-1)x-n+7满足: (1)平行于x轴; (2)平行于直线l2:7x-y+15=0. 【方法总结】　(1)判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行,因为斜率相等也可能推出两条直线重合. (2)应用两条直线平行求参数值时,应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论. 巩固训练 判断下列各组直线是否平行,并说明理由. (1)l1:y=3x+2,l2:y=3x+1. (2)l1:x+2y-1=0,l2:x+2y=0. (3)l1:x+2=0,l2:2x=1. 探究2：两条直线垂直的判定 情境设置 　　问题1:如果两条直线垂直,那么这两条直线的方向向量具有怎样的关系? 问题2:若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为-1吗? 新知生成 　　两条直线垂直 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于　-1　;反之,如果它们的斜率之积等于　-1　,那么它们互相垂直.即l1⊥l2⇔k1·k2=-1.  特别提醒:l1⊥l2⇔k1·k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在. 新知运用 例2　(1)已知l1经过点A(3,2),B(3,-1),l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直; (2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值. 【方法总结】利用斜率公式判定两条直线垂直的步骤: 一看:看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则该直线的斜率不存在,这时只需看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等,若相等,则两条直线垂直;若不相等,则进行第二步.二代:将点的坐标代入斜率公式.三求:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论. 巩固训练 1.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=-x+4 2.已知△ABC的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,