7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

菏泽外国语学校 聂张坤 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 第七章 复数 数学来源于生活,高于生活。 思考? 学习目标: 1、了解引进虚数单位的必要性,了解数系的扩充过程 2、理解在数系扩充中由实数集到复数集出现的基本概念 3、掌握复数的表示方法、分类及复数相等的充要条件 学习目标 对于一元二次方程 ,当 时,没有实数根。因此,在研究代数方程的过程中,如果限于实数集,有些问题就无法解决。 事实上,早在古希腊时代,数学家在研究解方程问题时就遇到了负实数开平方的问题,但他们一直在回避。直到1545年,意大利数学家卡丹在用求根公式,因式分解两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时,得到了无法理解的结果...... 一、创设情境,引入新知 解方程: 方法1: 用三次方程求根公式(卡丹公式) 解得: 方法2: 用因式分解 解得: 得到: 16世纪 数学家的困惑 一、创设情境,引入新知 问题1从方程的角度看,负实数能不能开平方,实际上就是方程 (a>0)有没有解的问题。能不能把这类问题再进一步简化,最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢? 追问x2+1=0在实数集中无解,能否引入新数,适当地扩充实数集,使这个方程在新数集中有解呢? 二、创设情境,合作探究 远古的人类,为了统计捕获的野兽和采集的野果,历经漫长的岁月,创造了自然数,自然数集记为N。自然数是现实世界最基本的数量,是全部数学的发源地。自然数的加法与乘法满足交换律、结合律及分配律。 随后为了表示具有相反意义的量,负数的概念就出现了,我国是认识正负数最早的国家,《九章算术》中就有了正负数的记载。负数概念引进后,就把数集扩充到整数集Z,运算法则同样适用。 随着历史的发展,为了公平分配物质印度人引进了分数,但分数的确切定义,科学表示及分数算法,都是中国最早提出的。分数运算也满足加法与乘法的运算律。分数概念引进后,就把数集扩充到有理数集Q,运算法则同样适用。 公元前几百年,希腊人发现边长为1的正方形和正五边形对角线的长都不是分数,从此人们知道了世间还存在另一类数无理数。有理数集与无理数集合并在一起就构成实数集R。 数系的每一次扩充,都是基于两个方面的原因:社会生产实践的需要和数学自身发展的需要。 阅读 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方体对角线等问题 引入了 无理数 计数的需要 引入了 自然数 从社会生产实践的需要来看 自然数 负整数 整数 无理数 有理数 分数 实数 随着社会发展,数系在不断扩充. 二、创设情境,合作探究 从数学自身发展的需要来看 (2)在整数集中求方程2x-1=0的解; 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 无解 有解 无解 有解 有解 无解 (3)在有理数集中求x2-2=0方程的解; 数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题. (4)在实数集中求x2+1=0方程的解. 无解 有解 ? (1)在自然集中求方程x+1=0的解; 二、创设情境,合作探究 数系扩充后,在运算上遵循了什么规则? 如果没有运算,数只是孤立的符号! 有理数集 实数集 引入了无理数 运算 运算律 + (—) ( ) + (—) ( ) 交换律 结合律 分配律 交换律 结合律 分配律 数系扩充规则: 数集扩充后,在新数集中规定的加法运算和乘法运算,与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律. 二、创设情境,合作探究 问题2类比从自然数集到实数集的扩充过程,特别是从有理数集到实数集的扩充过程,你能设想一种方法,使方程x2+1=0有解吗? 我们可以引入一个数“i”,使i2=-1, 这样x=i就是方程x2+1=0的解. 历史上,新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的,他用了“imaginary”一词的首字母,本意是这个数是虚幻的. 三、依据规则,引入概念 问题3根据上述规则,你能说出实数集经过扩充后,得到的新数集由哪些数组成吗?你能写出新数的一般形式吗? 加法运算 乘法运算 实数 新数 3+i a+i 2i bi 3+2i a+bi(a,b∈R) 依据规则: 在新数集中规定的加法运算和乘法运算,与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致。 三、依据规则,引入概念 (1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示. (2)全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用C 表示. 实部 虚部 i 叫虚数单位 三、依据规则,引入概念 1545年意大利有名的数学家卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题,当时复数被他称作“诡辩量”。 几乎过了100年,笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数。但是又过了140年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想”