2024年山西中考数学专题讲解——专题二、几何压轴题（综合与实践问题）——一、图形旋转型问题

2024年山西中考数学专题讲解——专题二、几何压轴题（综合与实践问题）——一、图形旋转型问题(8年2考：2020.22；2016.22) 一、题型解读 综合与实践属于过程探究题，旨在引导学生动手操作、自主探索、小组合作、交流共享．通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力．主要考查类型有操作探究、平移、旋转、折叠，常与三角形全等、相似及一些重要的几何定理综合考查，让学生在实践过程中，学会发现问题、解决问题，培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识，提高解决问题的能力． 2、 山西近十年中考知识点分类小结 1.考查次数：10年10考，常在解答题倒数第二题考查 2.考查题型：解答题 3.考查难度：压轴题 4.考查形式： （1）操作探究型（不含图形变化）（8年1考：2018.22）； （2）图形平移型（8年1考：2016.22）； （3）图形旋转型（8年9考：2022.22,2020.22,2016.22）； （4）图形折叠型（8年5考：2021.22,2019.22，2017.22,2015.23，2014.23） 5.历年山西中考数学试卷考查题型小结： 三、专题讲解 （一）热身小练 1. 如图①是一个含30°角的直角三角板DEF和矩形纸片ABCD，点E，F恰好分别与点C，B重合．如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使点F落在边BA的延长线上，连接AC，请写出四边形ACDF的形状，并说明理由． 第1题图 2. 已知四边形ABCD为正方形，连接对角线BD，O是BD的中点，将△BCD以点D为旋转中心，顺时针方向旋转45°，得到△B′C′D，点O的对应点为O′，B′C′与AB交于点E.连接AO，与O′C′交于点F，试判断四边形AEC′F的形状，并说明理由． 第2题图 3. 如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，先将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B的对应点E落在AC边上，点A的对应点为点D，再将△ABC绕点A逆时针旋转相同角度得到△AFG，连接DG，请判断四边形AEDG的形状，并说明理由． 第3题图 4. 如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的中点，点E在AC边上，将射线DE绕点D逆时针旋转90°与AB边交于点F.连接EF，当△DEF的面积等于四边形DEAF面积的一半时，请判断四边形DEAF的形状，并求出此时EF的长． 　 第4题图 （二）典例精讲 例、综合与实践 数学实践课上，同学们通过对图形进行旋转，探索其中的数学规律． 问题情境：如图①所示，已知直角三角形ABC，点E为AC边的中点，过点E作ED∥AB与BC交于点D. 活动探究一：若BC＝AC＝4，将△ECD以点C为旋转中心逆时针旋转，得到△E′CD′，连接AE′，BD′. (1)如图②，当B，D′，E′三点在同一直线上时，∠E′AC＝20°，求旋转角的度数； 例题图① 例题图② (2)如图③，判断线段AE′与BD′的数量关系与位置关系，并说明理由； 例题图③ (3)如图④，当旋转到某一时刻，CD′⊥BD′，延长BD′与AE′交于点F，请判断四边形D′CE′F的形状，并说明理由； 例题图④ (4)如图⑤，当旋转角135°<α<225°时，连接AD′，BE′，请写出四边形AD′E′B面积的最大值； 例题图⑤ 活动探究二：如图⑥，若＝2，将△ECD以点C为旋转中心逆时针旋转，得到△E′CD′，连接AE′，BD′. (5)判断线段AE′与BD′的数量关系与位置关系，并说明理由； 例题图⑥ (6)如图⑦，当CD′⊥BD′时，延长BD′与AE′交于点F，请判断四边形D′CE′F的形状，并说明理由； 例题图⑦ (7)如图⑧，已知正方形ABCD与正方形AEFG，点E、G分别在AD、AB上，将正方形AEFG绕点A旋转到如图⑨所示的位置，连接BG，CF，求的值． 例题图　　　 （三）针对训练 1．（2022山西22题13分）（图形旋转型）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N． 猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长． 2．（2020山西22题12分）（图形旋转型）综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°