2024年九年级数学中考专题:二次函数一题多问

中考专题：二次函数一题多问 【类型1】求解析式与顶点 2 【类型2】线段相关 2 【题型1】垂线段 2 【题型2】斜线段 3 【题型3】中点问题 5 【题型4】定值问题 5 【题型5】最值问题 6 【题型6】条件求值问题 8 【题型7】最短路径 8 【类型3】面积相关 10 【题型5】角度问题 14 【题型6】45°角 18 【题型7】等腰直角三角形存在性问题 20 【题型8】直角三角形存在性问题 23 【题型9】等腰三角形存在性问题 26 【题型10】等边三角形存在性问题 29 【题型11】平行四边形存在性问题 30 【题型12】正方形存在性问题 31 【题型13】菱形存在性问题 33 【题型14】梯形存在性问题 34 【题型15】相似存在性问题 34 【题型16】全等存在性问题 37 【题型17】平移问题 37 【题型18】折叠问题 39 【题型19】旋转问题 40 【题型20】与圆结合 42 【题型21】定值问题 43 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 二次函数一题多问 【例题】如图，在平面直角坐标系中，OB=OC=3，OA=1，抛物线C:（）过点A、B、C. 【类型1】求解析式与顶点 1.求抛物线C的表达式和顶点D的坐标； 【类型2】线段相关 【题型1】垂线段 2.点P为抛物线上一点，过点P做直线PF⊥轴于点F，交直线BC于点E，若，求点P的横坐标； 3.直线：与轴交于点N，点P是轴上方抛物线上一点，过点P作直线PF⊥轴于点F，交直线于点E，设点P横坐标为，当PE=5EF时，求的值； 【题型2】斜线段 4.若点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PO交线段BC于点E，求PE：EO的最大值； 5.若点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PA交线段BC于点E，求PE：EA的最大值； 6.设抛物线对称轴与轴交于点F，点M（，）是抛物线上的一个动点，连接MF，把MF2表示成自变量的函数，并求出MF2取得最小值时点M的坐标． 7.E是线段AC上的一点，EF∥轴交BC于点F，FG⊥X轴，求线段EG的最小值. 8.将直线CD向下平移，交、轴分别于S、T，交抛物线于点P，若时，求P点坐标. 9.已知直线L为，P为抛物线上一点，则点P 到直线L的距离的最小值为多少? 【题型3】中点问题 10.点E（0，1），P为BC上方抛物线上一动点，连接PE交BC于点G，若点G恰好平分PE，求点P坐标. 【题型4】定值问题 11.过抛物线顶点D作直线DE∥轴，交轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF＋EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 12.过点M（-3，0）做直线交抛物线于G、H两点，过G、H两点分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，求证：ME×MF为定值. 【题型5】最值问题 13.点M（，0）为线段AB上一点（不与点A、B重合），过点M作轴的垂线，与直线BC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边. ①试用含的式子表示矩形PQNM的周长；当矩形PQNM的周长最大时，的值是多少？并求出此时的△AEM的面积； ②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作轴的平行线，与直线BC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝DQ，求点F的坐标． 14.在直线BC上方的抛物线上有一点E，作EF∥x轴，与抛物线交于点F，作EN⊥x轴于N，作FM⊥x轴于M，长度为的线段PQ在直线AC上运动（点P在点Q左侧），当四边形ENMF的周长取最大值求四边形DPQE的周长的最小值及对应的点Q的坐标； 15.将直线BC向上平移个单位,得到直线与抛物线交于P、Q两点，过P、Q分别作轴的平行线交BC于点E、F，则PQFE周长的最大值为多少，求出此时直线PQ. 16.若在第一象限的抛物线下方有一动点M，满足MB=OB，过M作MG⊥X轴于点，设△MBG的内心为I，试求CI的最小值． 【题型6】条件求值问题 17.若直线：与抛物线有两个交点M，N（M在N的左边），P为抛物线上一动点（不与M，N重合）．过P作PH平行于轴交直线于点H，若，求的值． 18.M（，0）为线段OB上一个动点（与点B，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段BC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AQ，与y轴交于点F，连接CP，当线段QF＝CP时，求的值. 【题型7】最短路径 19.（1）若E为C点关于对称轴的对称点，在对称轴上是否存在点Q使得QB+QE的值最小，若存在，求出最小值，并求出点此时点Q的坐标；（2）设点M（3，），求使MC+MD最小时的值； 20.在对称轴上是否存在点M，