专题3-2导数的应用（考点清单，5种题型典例剖析+考场练兵）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

专题3-2导数的应用（考点清单，5种题型典例剖析+考场练兵） 知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点四　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点五　函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点六　函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点七　求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 一．利用导数研究函数的单调性（共9小题） 1．（2023秋•碑林区校级期末）已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是　　 A．（1）， B．（1）， C．（1）， D．（1）， 2．（2023秋•普陀区校级期中）已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）已知实数，满足，则下列关系式恒成立的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•奉贤区期末）下列命题中正确的是　　 A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 5．（2024春•浦东新区校级月考）若，，则角的取值范围是 　　． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 　　． 7．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数，且，则实数的取值范围是 　　． 8．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为 　　． 9．（2024•普陀区校级开学）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）记曲线在处的切线为，求证：与有且仅有1个公共点． 二．函数在某点取得极值的条件（共3小题） 10．（2023•常德二模）已知函数．如果存在实数，，使函数，，在处取得最小值，则实数的最大值为　　． 11．（2024•南通模拟）已知函数． （1）若是函数的极值点，求的值； （2）求函数的单调区间． 12．（2023春•浑南区校级期中）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值． （1）求函数的单调区间和极大值； （2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，，，，都有成立，求实数的取值