巧用函数性质的二级结论解客观题 课件-2025届高三数学一轮复习

素能培优(二)巧用函数性质的二级结论解客观题 关于函数的奇偶性、周期性、对称性,有很多重要的二级结论,运用这些结论解决客观题非常简洁、高效,举例说明如下. 一、应用奇函数的二级结论解题 结论1:如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0. 结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0. 结论3:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c. 结论4:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,g(x)在定义域上有最值,则必有g(x)max+g(x)min=2c. 例1(2024·云南楚雄模拟)已知奇函数f(x)=ax+b·a-x在区间[-1,1]上的最大值 B 解析 由于函数为奇函数且在x=0有定义,所以f(0)=1+b=0,解得b=-1,即f(x)=ax-a-x. [对点训练1](2024·四川成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2+a,则f(2 023)=(　　) A.3 B.-3 C.1 D.-1 C 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=(0-1)2+a=0,所以a=-1,又因为函数f(x)的周期为4,所以f(2 023)=f(-1)=-f(1)=-a=1,故选C. 例2已知函数f(x)=aln(x+ )+bsin x+2,若f(-3)=7,则f(3)的值为(　　) A.-7 B.-5 C.-3 D.无法确定 C [对点训练2]已知函数f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数和偶函数,若F(x)=f(x)g(x)-3,且F(2)=1,则F(-2)=　　　　.  -7 解析 因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以f(x)g(x)是奇函数,又F(x)=f(x)g(x)-3,所以F(2)+F(-2)=-6,而F(2)=1,所以F(-2)=-7. 例3(2024·宁夏银川模拟)设函数f(x)= 的最大值为a,最小值为b,则a+b=　　　　.  2　 [对点训练3]已知函数f(x)= +8(a>0,a≠1)在区间[a,b]上的最小值为-10,则函数f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为(　　) A.10 B.26 C.-10 D.与a有关 B 解析 令g(x)= (a>0,a≠1),则g(x)为奇函数,因为f(x)=g(x)+8在区间[a,b]上的最小值为-10,所以函数f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为 2×8-(-10)=26,故选B. 二、应用周期性的二级结论解题 对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数), 结论1:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a; 结论2:若f(x+a)+f(x)=c(c∈R),则f(x)的一个周期为2a; 结论3:若f(x)=f(x+a)+f(x-a),则f(x)的一个周期为6a; 结论4:若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a). 结论5:若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a). 结论6:若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为4|b-a|(b≠a). (注意:结论4—结论6的记忆:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差) 例4(2024·陕西汉中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=f(-x),若 A [对点训练4]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x-2)=f(x+2),当x∈[-2,0]时,f(x)=( )x+b,则f(log3162)=　　　　.  -1　 解析 由题意知f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b+1=0,即b=-1.因为f(x+2-2)=f(x+2+2),所以f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,则f(log3162)=f(log3(162-4×40))=f(log32).因为log32∈(0,1),f(x)为奇函数,所以 例5(2024·辽宁沈阳模拟)已知函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,函数y=f(x+1)的图象关于点(1,0)对称,则下列说法一定正确的是(　　) A.f(1)=0 B.f(1-x)=f(1+x) C.f(x)的周期为2 B 解析 因为函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,所以f(2(1+x)+1)= f(2(1-x)+1),即f(2