3.10函数模型及其应用课件-2025届高三数学一轮复习

第10节 函数模型及其应用 课标解读 1.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.会比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.指数、对数、幂函数模型性质的比较 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调　　　  单调　　　  单调　　  增长速度 越来越　　  越来越　　  相对平稳 图象的 变化 随x的增大逐渐表现为与　　　　平行  随x的增大逐渐表现为与　　　　平行  随n值变化而各有不同 递增 递增 递增 快 慢 y轴 x轴 微点拨“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”是先慢后快,其增长速度越来越快,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”是先快后慢,其增长速度越来越缓慢. 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例型函数 f(x)= +b(k,b为常数,k≠0) 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数型函数 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂型函数 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.函数y=2x的函数值恒比y=x2的函数值大.(　　) 2.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.(　　) 3.指数型函数模型,一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题.(　　) 4.若f(x)=2x,g(x)=x2,h(x)=log2x,则当x∈(4,+∞)时f(x)>g(x)>h(x).(　　) × × √ √ 题组二回源教材 5.(人教A版必修第一册习题4.4第6题)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) B 解析 依题意,在2 h内,药物含量线性增加,排除A;又药物含量不可能为负值,故排除D;停止注射后,药物含量呈指数衰减,排除C,故选B. 6.(人教B版必修第一册3.3节例5)已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3 000,且当年产量是100时,总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q). (1)求f(Q)的解析式; (2)求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值. 解 (1)将Q=100,C=6 000代入C=aQ2+3 000中,可得1002a+3 000=6 000,从 等号成立. 因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60. 题组三连线高考 7.(2020·全国Ⅰ,文5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x D 解析 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x. 8.(多选题)(2023·新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　 　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 ACD　 2 研考点 精准突破 考点一 实际问题变化过程的图象刻画 例1(2024·北京东城模拟)点P从O点出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,O,P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示,那么点P所走的图形