第3章第9节函数与方程课件——2025届高考数学一轮总复习

第9节 函数与方程 课标解读 1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理. 3.能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  零点不是点,是一个实数 误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实数,例如,不能说0是函数f(x)= 的零点,事实上该函数不存在零点. (2)等价关系 方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点. f(x)=0 2.函数零点存在定理 微点拨1.零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点. 2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号. 3.连续不断的函数图象,通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗? 提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在(a,b)内有零点”的充分不必要条件. 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间　　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精度ε. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c).若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数f(x)的零点;若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c).若f(b)·f(c)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步. f(a)f(b)<0 一分为二 零点 常用结论 1.奇偶函数的非零零点成对出现,且互为相反数. 2.周期函数若存在零点,则必有无穷多个零点. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.函数f(x)=x2-1的两个零点是(-1,0)和(1,0).(　　) 2.如果函数f(x)在区间(a,b)上单调且存在零点,则f(a)·f(b)<0.(　　) 3.偶函数若有零点必有偶数个.(　　) 4.只要函数有零点,就可以用二分法求出其近似值.(　　) × √ × × 题组二回源教材 5.(人教A版必修第一册习题4.5第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 1 4 7 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(　　) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) B 解析 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.故选B. 6.(人教B版必修第一册习题3-2B第3题改编)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且x0∈(2,3),则实数c的取值范围是　　　　.  (2,3)　 解析 依题意,设f(x)=x3+ax2+bx+c=(x+1)(x-1)(x-x0),即f(x)=x3-x0x2-x+x0,因此c=x0,由于x0∈(2,3),所以c∈(2,3). 题组三连线高考 7.(2018·全国Ⅰ,理9)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) C 解析 由g(x)=0得f(x)=-x-a,作出函数f(x)和y=-x-a的图象(如图所示),当x=0时,y=-a≤1,即a≥-1时,两个函数的图象有2个交点,即函数g(x)存在2个零点,因此实数a的取值范围是[-1,+∞),故选C