第3章第4节幂函数对勾函数及一次分式函数课件——2025届高考数学一轮总复习

第4节 幂函数、对勾函数及一次分式函数 课标解读 1.通过具体实例,结合y=x, ,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.掌握对勾函数、一次分式函数的简单性质,能够运用这些性质解决相关问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的概念 一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  注意幂函数与指数函数的区别 微点拨幂函数解析式的特征:(1)自变量x处在幂的底数位置,幂指数α是常数;(2)xα的系数为1;(3)只有一项. y=xα (2)常用5个简单幂函数的图象与性质 函数 y=x y=x2 y=x3   y=x-1 定义域 R R R {x|x≥0} 　　　  值域 R {y|y≥0} R 　　 　  {y|y≠0} 奇偶 性 奇函 数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 　　　  单调 性 在R上单 调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减 {x|x≠0} {y|y≥0} 奇函数 函数 y=x y=x2 y=x3   y=x-1 图象 过定点 (1,1) 微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗? 微点拨1.幂函数在(0,+∞)上都有定义; 2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; 3.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,且一定不经过第四象限. 2.对勾函数 (1)对勾函数的定义:对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,是形如f(x)=ax+ (a>0,b>0)的函数,因其图象的形状得名,又被称为“双勾函数”“对号函数”等. (2)对勾函数的图象与性质 微思考在函数f(x)=x+ 中,若a<0,则其奇偶性与单调性怎样? 提示 若a<0,则f(x)=x+ 是奇函数,且在区间(-∞,0),(0,+∞)上均单调递增. 3.一次分式函数 (1)一次分式函数的定义:形如y= (a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)一次分式函数的图象和性质 常用结论 1.一般地,对于幂函数 (m∈Z,n∈N*,m与n互质),当m为偶数时,f(x)为偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函数. 2.对勾函数 (a>0,b>0)的极值与图象的拐点可以通过基本不等式求得. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.函数f(x)=2x4是幂函数.(　　) 4.幂函数的图象若与坐标轴有交点,则交点一定是原点.(　　) × × × √ 题组二回源教材 5.(人教A版必修第一册3.3节练习第1题)已知幂函数y=f(x)的图象过点 (2, ),求这个函数的解析式. 6.(人教A版必修第一册3.3节例题)证明幂函数f(x)= 是增函数. 题组三连线高考 7.(2023·天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c D 解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D. 8.(2016·北京,文10)函数f(x)= (x≥2)的最大值为　　　　.  2 解析 由于f(x)=1+ ,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,从而在[2,+∞)上单调递减,故最大值为f(2)=2. 2 研考点 精准突破 考点一幂函数的概念、图象及性质 例1(1)(2024·山东济宁模拟)幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是(　　) A.m=4 B.f(x)是减函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数 C 解析 函数f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,则m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1. 当m=4时,f(x)=x4在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意;当m=-1时,f(x)=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,所以A错误;又f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但不