1.3函数的奇偶性周期性与对称性课件-2025届高三数学一轮复习

第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性 课标解读 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 3.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且 　　 　　  关于y轴对称 奇函数 　　 　　  关于原点对称 　此为奇偶函数定义域关于原点对称的原因 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 微点拨1.函数图象关于y轴对称,必为偶函数;关于原点对称,必为奇函数.互为充要条件. 2.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: 3.几个常见的奇函数、偶函数:y=ax+a-x(a>0,a≠1),y=loga(1+x)+loga(1-x) (a>0,a≠1)为偶函数;y=ax-a-x(a>0,a≠1), 4.多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0(n∈N*)为偶函数时,奇次项系数全为0,只含有偶次项;f(x)为奇函数时,偶次项系数全为0,只含有奇次项. 微思考存在既是奇函数又是偶函数的函数吗?唯一吗? 提示 存在既是奇函数又是偶函数的函数,但不唯一.如果函数y=f(x)是偶函数,那么有f(x)=f(-x),而它又是奇函数,那么f(x)=-f(-x),因此必有f(x)=-f(x),则f(x)=0,则既是奇函数又是偶函数的函数的函数值只能为零,但其解析式的 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=　　　,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数　　　就叫做这个函数的周期.  (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.  并非所有周期函数都有最小正周期 微点拨若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期. f(x) T 最小 常用结论 1.关于函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x)=f(|x|). (2)如果函数f(x)不是常数函数,当f(x)是奇函数时,它在两个对称的区间上具有相同的单调性;当f(x)是偶函数时,它在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (4)如果f(x)=g(x)+m(m为常数)且g(x)为奇函数,那么f(x)+f(-x)=2m. (5)如果奇函数f(x)存在最大值与最小值,那么它的最大值与最小值之和等于零. 2.关于函数周期性的常用结论(a,b为非零常数) (1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2a. (4)若f(x+a)=f(x+b),则周期T=|a-b|. (5)若函数f(x)图象的对称轴有直线x=a和x=b,那么周期T=2|a-b|. 3.关于函数图象对称性的常用结论 (1)若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(-x)=-f(2a+x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 2.若f(x)是奇函数,则有f(0)=0.(　　) 3.若f(x)是奇函数,则y=-|f(x)|为偶函数.(　　) 4.若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的周期为3.(　　) × × √ √ 题组二回源教材 5.(人教B版必修第一册117页习题3-1B第8题改编)已知函数 f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,则实数a的值为　　　　　.  2　 解析 (方法一)由题意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2. (方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因为f(x)是偶函数,所以a-2=0,解得a=2. 6.(人教A版必修第一册86页习题3.2第11题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f