3.2 函数的单调性与最值 课件-2025届高三数学一轮复习

第2节 函数的单调性与最值 课标解读 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 单调性 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I x1,x2的取值具有任意性且属于同一区间 当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,就称它是增函数  当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,就称它是减函数  f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 单调性 增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 微点拨函数单调性定义的等价形式 (2)单调性、单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上　　　　　　　　或　　　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的　　　　　　　　.  微思考“函数f(x)的单调递增区间是M”与“函数f(x)在区间M上单调递增”的含义相同吗? 提示 不相同.“函数f(x)的单调递增区间是M”是指函数f(x)的单调递增区间恰好是M,在其他的区间上f(x)不是单调递增的;而“函数f(x)在区间M上单调递增”是指函数f(x)在区间M以外的区间或包含M的更大区间上也可能是单调递增的. 单调递增 单调递减 单调区间 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有　　　　　;  (2)∃x0∈D,使得　　　　  函数的最值一定是某个自变量对应的函数值 (3)∀x∈D,都有　　　　　;  (4)∃x0∈D,使得　　　　  结论 M是y=f(x)的最大值 最大值是所有函数值中最大的一个 M是y=f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M 微点拨1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到. 2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 微思考已知函数f(x)= ,对于∀x∈{x|x≠0}都有f(x)>0,能否认为f(x)= 的最小值为0? 提示 不能.尽管f(x)>0,但不存在x∈{x|x≠0}使得f(x)=0,所以不能说f(x)= 的最小值为0. 常用结论 1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: (1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数; (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反; (5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于0,则f(x)g(x)是增(减)函数;若两者都恒小于0,则f(x)g(x)是减(增)函数. 3.复合函数的单调性:对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解为y=f(u)和u=g(x),则有: u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f(g(x)) 增 减 减 增 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.若函数f(x)在R上单调递减,则f(1)>f(2).(　　) 2.若函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递增,则f(1)<f(3).(　　) 3.函数f(x)= 的单调递减区间是(-∞,1)∪(1,+∞).(　　) 4.若函数f(x)在[1,6]上的最小值是f(6),则f(x)在[1,6]上单调递减.(　　) √ × × × 题组二回源教材 5.(人教A版必修第一册3.2.1节例5改编)已知函数f(x)= ,x∈[2,6],则函数的最大值是　　　,最小值是　　　.  2 0.4 解析 因为函数f(x)= 在区间[2,6]上单调递减,所以,函数f(x)= 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4. 6.(人教B版必修第一册3.1.2节练习B第1题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5