素能培优十三排列组合问题的解题策略课件——2025届高考数学一轮总复习

素能培优(十三) 排列、组合问题的解题策略 题型一 特殊元素与特殊位置优先策略 例1(2024·福建福州模拟)为了强化学校的体育教育教学工作,提高学生身体素质,加强学生之间的沟通,凝聚班级集体的力量,激发学生热爱体育的热情.某中学举办田径运动会,某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛,其中甲只能跑第1棒或第2棒,乙只能跑第2棒或第4棒,那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为(　　) A.48 B.36 C.24 D.12 B 解析 当甲跑第1棒时,乙可跑第2棒或第4棒,共有 =24(种);当甲跑第2棒时,乙只能跑第4棒,共有 =12种.故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为24+12=36. [对点训练1](2024·山西晋城模拟)现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念,若甲、乙均不在最左端,乙不在最右端,则符合要求的排列方法共有　　　　种.  54 题型二 相邻问题捆绑策略 例2 5位同学和2位老师一起拍照,要求排成一排,2位老师相邻但不排在两端,则不同的排法共有　　　　种.(结果用数字表示)  960　 [对点训练2]5名同学排成一排,其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有(　　) A.70种 B.72种 C.36种 D.12种 C 解析 甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列,则共有 题型三 不相邻问题插空策略 例3(2024·安徽马鞍山模拟)要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,若任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是(　　) C　 [对点训练3]某电视台计划在某段时间连续播放6个广告,其中3个不同的商业广告和3个不同的公益宣传广告,要求第一个和最后一个播放的必须是公益宣传广告,且3个公益宣传广告不能两两相邻播放,则不同的播放方式有　　　　种.(用数字作答)  72　 题型四 定序问题倍缩、空位插入策略 例4 7人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法? [对点训练4]某班10名同学一起参加数学竞赛,赛后老师为这10名同学拍合影留念,排成两排,前排站4人后排站6人,后来老师决定从后排6人中抽出2人站到前排,其他同学的相对顺序不变,则调整方法共有(　　) A.150种 B.300种 C.450种 D.225种 C　 题型五 分排问题直排策略 例5 6名学生排成3排,前排1人,中排2人,后排3人,共有　　　　种不同的排法.  720 [对点训练5]7名学生排队拍照,要求站两排,前面3名学生,后面4名学生,共有　　　　种排法.  5 040 题型六 元素相同问题隔板策略 例6(多选题)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力,利用周末去社区进行义务劳动,高三一共6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必须参加并不占名额,每个班都必须有人参加,则下列说法正确的是(　　) C.若每个班至少3人参加,则共有90种分配方法 D.若每个班至少3人参加,则共有126种分配方法 BD [对点训练6]方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数为(　　) A.56 B.35 C.70 D.66 B 解析 原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有1个小球,采用隔板法,将8个小球排成一排,在其中的7个空位上插入3个隔板即可,故共有 =35(种). 解析 先排乙,从中间的3个位置中选1个安排乙,则有=3(种)方法,再排甲,从除左端外,剩下的3个位置中选1个安排甲,则有=3(种)方法,最后排其余3名同学,有=6(种)方法,所以由分步乘法计数原理可知共有3×3×6=54(种)方法. 解析 首先排2位同学到两端,有种排法,再排其余3位同学与2位老师,其中老师需相邻,故有种排法,按照分步乘法计数原理可得一共有=960(种)排法. =36(种)排法. A. B. C. D. 解析 三个舞蹈节目不排在一起,可先排独唱节目,有种排法,将3个舞蹈节目排在5个独唱节目间,即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目,有种排法,根据分步乘法计数原理,共有种不同的排法. 解析 先考虑第一个和最后一个位置必为公益宣传广告,有=6(种),另一个公益广告插入3个商业广告之间,有=2(种);再考虑3个商业广告的顺序,有=6(种),根据分步乘法计数原理,共有6×2×6=72(种). 解 (方法一)共有=840(种)不同的排法. (方法二)设想有7把椅子让除甲、乙、丙以外的4人坐,共有种坐法,其余的三个位置给甲、乙、丙坐,有1种坐法,则坐法种数为=840.故共有840种不同的排法. 解析 先从后排6人中抽出两名同学,有种方法,因为其他同学的相对顺序不变,将这2人安排在前排,用插空法,有种方