概率与统计中的综合问题 课件-2025届高三数学一轮复习

解答题专项❻ 概率与统计中的综合问题 考情分析:有关概率、统计与其他知识相交汇的考题,能体现“返璞归真,支持课改;突破定势,考查真功”的命题理念,是每年高考的常考内容.近几年还经常将概率与统计问题与数列、函数、导数结合,成为创新问题. 考点一 统计图表与分布列的综合问题 例1(2024·北京海淀模拟)垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果,该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试,然后从高一、高二年级全体学生中各随机抽取了20名学生成绩(百分制),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了整理的相关信息: 高一年级成绩分布表 等级 E D C B A 成绩(分数) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 1 2 3 4 10 考点一 考点二 考点三 考点四 高二年级成绩频率分布直方图 (1)从高一和高二年级学生样本中各抽取一人,这两个人成绩都不低于90分的概率是多少? (2)分别从高一全体学生中抽取1人,从高二全体学生中抽取2人,这三人中成绩不低于90分的人数记为X,用频率估计概率,求X的分布列和期望; 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)学校为提高学生对垃圾分类的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座,假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级,若高一、高二学生数量一致,那么若想高一和高二学生的平均分尽可能高,需要在高一讲座还是高二讲座?(直接写出结论) 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)由于高一年级低分段的人数相比高二年级要少得多,所以需要在高二讲座. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二 回归模型与分布列的综合问题 例2(2024·浙江绍兴模拟)今年春季以来,各地出台了促进经济发展的各种措施,经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆,一些超市也纷纷加大了广告促销.现在某地随机抽取了7家超市,得到其广告支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)数据如下: 超市 A B C D E F G 广告支出x/万元 1 2 4 6 10 13 20 销售额y/万元 19 32 44 40 52 53 54 考点一 考点二 考点三 考点四 (1)建立y关于x的一元线性回归方程(系数精确到0.01); (2)若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值μ,当μ≥10时,称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市,记这4家超市中“好广告”的超市数为X,求X的分布列与数学期望. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](2024·四川成都模拟)为研究如何合理施用化肥,使其最大限度地促进粮食增产,减少对周围环境的污染,某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据,并对这些数据进行了初步处理,得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值,其中,化肥施用量为x(单位:千克),粮食亩产量为y(单位:百千克).令ti=ln xi,zi=ln yi(i=1,2,…,10). 考点一 考点二 考点三 考点四 (1)根据散点图,判断y=a+bx与y=cxd哪一个更适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程模型(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程,并估计化肥施用量为27千克时,粮食亩产量的值; 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)经生产技术提高后,该化肥的有效率Z大幅提高,经试验统计得Z大致服从正态分布N(0.54,0.022).问这种化肥的有效率超过56%的概率约为多少? ②若随机变量Z~N(μ,σ2),则有P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5;③e≈2.7. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1)由散点图可知y随x的变化呈非线性的变化趋势,∴y=cxd更适宜作为y关于x的回归方程模型. 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)∵Z~N(0.54,0.022),则μ=0.54,σ=0.02, ∴P(μ-σ≤Z≤μ+σ)=P(0.52≤Z≤0.56)≈0.682 7,则P(Z>0.56) =0.158 65, ∴这种化肥的有效率超过56%的概率约为0.158 65. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三 独立性检验与分布列的综合问题 例3(12分)(2023·全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20