11.7 二项分布、超几何分布、正态分布 课件-2025届高三数学一轮复习

第7节 二项分布、超几何分布、正态分布 课标解读 1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.理解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3.理解服从正态分布的随机变量,借助频率直方图的几何直观,理解正态分布的特征. 4.理解正态分布的均值、方差及其含义. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.n重伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 把只包含两个可能结果的试验叫做　　　　　　　.  将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= , k=0,1,2,…,n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作　　　　　　.  伯努利试验　 X~B(n,p) (3)两点分布与二项分布的均值、方差 如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.  如果X~B(n,p),那么E(X)=　　　　,D(X)=　　　　　.  微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点: (1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变; (2)试验可以独立重复进行n次. p p(1-p)　 np　 np(1-p) 2.超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 微点拨超几何分布与二项分布的关系 不同点 联系 假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从超几何分布 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似 3.正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线特点 ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交. 当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. ②曲线与x轴之间的区域的面积为1. ③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. ⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示. 图1 图2 (3)定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)= ,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为　　　　　　.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从　　　　　　　　.  服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量 X~N(μ,σ2)　 标准正态分布 (4)3σ原则 假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地, ①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7. ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. (5)正态分布的均值与方差 若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=　　,D(X)=　　.  μ σ2 常用结论 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.二项分布是一个概率分布,其概率计算公式相当于(a+b)n二项展开式的通项,其中a=p,b=1-p.(　　) 2.从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) 3.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情况.(　　) 4.正态曲线落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.(　　) × √ √ √ 题组二回源教材 5.(人教A版选择性必修第二册7.4.1