11.6 离散型随机变量及其分布列数字特征 课件-2025届高三数学一轮复习

第6节 离散型随机变量及其分布列、数字特征 课标解读 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解并会求离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z. 分两类:离散型随机变量和连续型随机变量 (2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以　　　　　的随机变量.  微点拨离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的. 一一列举 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的　　　　　　 　　　为X的概率分布列,简称分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质 ①pi　　　0,i=1,2,…,n;  ②　　　　 　　=1.  有表格、图形和解析式三种形式  概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n ≥ p1+p2+…+pn 3.离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)=　　　　 　　　　=　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.  反映了离散型随机变量取值的平均水平 x1p1+x2p2+…+xnpn (2)方差 称D(X)=　　　　　　　为随机变量X的方差,并称 为随机变量X的标准差,记为σ(X).  用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度 微思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系? 提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差. 4.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=　　　 　　.(a,b为常数)  (2)D(aX+b)=　 .(a,b为常数)  aE(X)+b a2D(X) 常用结论 1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常数. 2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2). 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　　) 2.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(　　) 3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(　　) √ × √ 题组二回源教材 4.(人教A版选择性必修第三册7.3.1节练习第1题改编)已知X的分布列为 设Y=2X+3,则E(Y)的值为(　　) A 5.(人教A版选择性必修第三册7.3.2节练习第1题改编)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则D(X)=　　　　.  0.84 解析 由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4, 所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84. 题组三连线高考 6.(2014·浙江,文11)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则D(ξ)=　　　　.  7.(2020·浙江,16)盒子里有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球,从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数 为ξ,则P(ξ=0)=　　　　;E(ξ)=　　　　.  1　 2 研考点 精准突破 考点一 离散型随机变量分布列的性质 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1]设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量Y=2X+1的分布列; (2)求随机变量η=|X-1|的分布列. 解 (1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X+1