11.3 二项式定理 课件-2025届高三数学一轮复习

第3节 二项式定理 课标解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　,n∈N*.  (2)通项:　　　　　　　,它表示展开式的第k+1项.  (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. 字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式 只与各项的项数有关,而与a,b的值无关 微点拨1.二项式系数 (k=0,1,2,…,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念. 2.项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是 ,而该项的系数是 .当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的. 微思考(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系? 提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同. 2.二项式系数的性质 递增 递减 中间一项 中间两项 微点拨利用赋值法求二项式系数的和 常用结论 若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论: (1)h(r)=0⇔Tr+1是常数项. (2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项. (3)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项. (4)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.(a+b)n的展开式中的第k项是 .(　　) 2.在二项展开式中,系数最大的项一定为中间的一项或中间的两项.(　　) 3.通项Tk+1= 中的a和b不能互换.(　　) 4.在(ax+b)n的展开式中,某项的系数一定与该项的二项式系数相同.(　　) × × √ × 题组二回源教材 5.(人教A版选择性必修第三册6.3.1节练习第4题)(x-1)10的展开式的第6项的系数是(　　) D 6.(人教A版选择性必修第三册复习参考题6第3(5)题改编)在(1-2x)8的展开式中,各项系数的和是　　　　　.  1 解析 令x=1,可得各项系数和为(-1)8=1. 7.(人教A版选择性必修第三册习题6.3第8题改编)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则这两项的二项式系数分别是　　　　,　　　　.  120　 120　 题组三连线高考 8.(2022·北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(　　) A.40 B.41 C.-40 D.-41 B 解析 令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故 9.(2023·天津,11)在(2x3- )6的展开式中,x2项的系数为　　　　　.  60 2 研考点 精准突破 考点一 二项展开式的通项及其应用(多考向探究预测) 考向1求形如(a+b)n(n∈N*)的二项展开式中的特定项(或系数) 例1(1)(2023·北京,5) 的展开式中x的系数为(　　) A.-80 B.-40 C.40 D.80 D 考点一 考点二 考点三 考点四 C 考点一 考点二 考点三 考点四 (3) 的展开式中系数为无理数的项的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 A 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2024·福建福州模拟)若 的展开式中存在常数项,则正整数n可以是(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 C 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的两个多项式积的展开式问题 例2(1)(2022·新高考Ⅰ,13) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为 　　　　　(用数字作答).  -28 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2024·广东揭阳模拟)(ax+1) 的展开式中含x3项的系数为30,则实数a的值为