三角函数解析式中“ω”的求法 课件-2025届高三数学一轮复习

素能培优(五) 三角函数解析式中“ω”的求法 在三角函数的图象与性质中,求ω的值或取值范围是高考命题中的一个热点,与其有关的问题灵活多样,涉及的知识点多,历来是学习的难点,以下举例说明在不同条件下ω的求法. 题型一 利用三角函数的周期性求ω B [对点训练1]为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是(　　) B 题型二 利用三角函数的单调性求ω A 题型三 利用三角函数的对称性求ω A 题型四 根据三角函数的最值求ω [对点训练4]已知f(x)=sin ωx(ω>0),若在[0, ]上恰有两个不相等的实数a,b满足f(a)+f(b)=2,则实数ω的取值范围是　　　　.  [5,9)　 题型五 根据三角函数的零点求ω 例5(2023·新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　　.  [2,3)　 解析 因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ,令f(x)=cos ωx-1=0,则cos ωx=1有3个不相等的实数根,令t=ωx,则cos t=1有3个实数根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3. B 例1(2024·四川遂宁模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)+cos ωx(ω>0), f(x1)=0,f(x2)=,且|x1-x2|的最小值为π,则ω的值为(　　) A. B. C.1 D.2 解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),是函数f(x)的最大值,由题意可知,|x1-x2|的最小值是个最小正周期,又ω>0,所以=π,得ω= A.98π B. C. D.100π 解析 因为要使y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,所以49T≤1,即1,所以故选B. 例2(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),且f(x)在区间()上单调递增,则ω的取值范围为　 .  (0,1]∪[]　 解析 因为ω>0,所以当<x<时,<ωx-,因为函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)在区间()上单调递增,则()⊆(2kπ-,2kπ+)(k∈Z),所以其中k∈Z,解得4k-+1(k∈Z),因为ω>0,且k∈Z,所以k=0或k=1.当k=0时,0<ω≤1;当k=1时,综上所述,ω的取值范围是(0,1]∪[]. [对点训练2](2024·陕西安康模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx,g(x)=cos ωx-sin ωx,ω>0,在区间(0,)上,若f(x)是单调递增的,g(x)是单调递减的,则ω的取值范围是(　　) A.(0,] B.(0,1] C.(0,] D.[] 解析 由题意得f(x)=sin(ωx+),g(x)=cos(ωx+).令t=ωx+,由x∈(0,),得t∈(+).因为在区间(0,)上,f(x)单调递增,g(x)单调递减,所以解得,所以0< 例3(2024·川大附中模拟)已知函数f(x)=2cos ωxsin(ωx+)的图象在[0,]上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为　　　　　　　　.  (-,-]∪[) 解析 f(x)=2cos ωxsin(ωx+)=2cos ωx(sin ωxcos+cos ωxsin)=sin 2ωx +cos 2ωx+1=sin(2ωx+)+1.当ω=0时,f(x)为常数函数,不合题意.当ω>0,0≤x时,2ωx++,要使f(x)的图象在[0,]上恰有一条对称轴和一个对称中心,则π≤ω+,即<当ω<0,0≤x时, ω+2ωx+,要使f(x)的图象在[0,]上恰有一条对称轴和一个对称中心,则-π<ω+-,即-<ω≤-综上,ω的取值范围为(-,-]∪[). [对点训练3](2024·山西大同模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)且满足 f(-x)=f(x-),则ω的最小值为(　　) A. B. C.1 D.2 解析 由已知可得f(-x-)=f(x+),即f(-x)=f(+x),所以f(x)的图象关于直线x=对称,故+=kπ+,k∈Z,所以ω=4k+,又ω>0,所以当k=0时,ω取得最小值 例4已知f(x)=cos(ωx-)(ω>0),f()=f(),且f(x)在区间()内有最小值,无最大值,则ω=　　　　.  解析 因为f()=f(),所以f(x)图象的一条对称轴为直线x=,又因为f(x)在区间()内有最小值,无最大值,所以f(x)在x=时取得最小值,所以ω=π+2kπ(k∈Z),可得ω=+8k(k∈Z).因为最小正周期T=,可得0<ω