6.4 平面向量的应用 同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4平面向量的应用 一、单选题： 1.在中，已知，，，则(    ) A. B. C. D. 2.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.(    ) A. B. C. D. 4.在中，角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 5.在中，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球心到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 7.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，点是的重心，，则的外接圆半径为(    ) A. B. C. D. 8.已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为的等腰三角形 D. 顶角为的等腰三角形 二、多选题： 9.点是所在平面内一点，满足，则的形状不可能是(    ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 10.在中，，，，则的面积是 (    ) A. B. C. D. 11.某人在处向正东方向走后到达处，他向右转，然后朝新方向走到达处，结果他离出发点恰好，那么的值为(    ) A. B. C. D. 12.在中，若已知，并且，则的形状不可能是(    ) A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 三、填空题： 13.河水的流速大小为，一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为，则小船的静水速度大小为________． 14.已知非零向量，满足，则__________． 15.的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则          ． 16.在中，内角，，所对的边分别是，，已知，，则的值为________． 四、解答题： 17.一条宽为的河，水流速度为，在河两岸有两个码头，，已知，船在水中最大航速为；问怎样安排航行速度，可使该船从码头最快到达彼岸码头？用时多少？ 18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且 求； 设，，求的周长． 19.在中，为上一点，，，． 若，求外接圆的半径； 设，若，求面积． 20.如图，在梯形中，，，为上一点，，． 若为等腰三角形，求； 设，若，求． 21.在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答已知的内角，，所对的边分别是，，，满足__________． 求角 若，且外接圆的直径为，求的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了余弦定理，属于基础题． 设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度． 【解答】 解：设角，，所对的边分别为，，， 结合余弦定理，可得， 即，解得，或舍去， 所以． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，是基础题． 由，，以及的值，利用正弦定理即可求出的长． 【解答】 解：在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，， 由正弦定理， 得， 故选C． 3.【答案】  【解析】【解析】解：设角，，所对的边分别为，，， 结合余弦定理，可得， 即，解得舍去， 所以． 故选：． 设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，得到的长度． 本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两角和与差的三角函数公式，正弦定理的应用，考查计算能力，属于综合题． 利用两角和与差的三角函数公式化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可． 【解答】 解：在中，角，，的对边分别为，，， 满足 ， 可得：， 因为为锐角三角形，， 所以， 由正弦定理可得：． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．属于中档题． 先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得的范围，进而求得的范围． 【解答】 解：由正弦定理可知，，为三角形外接圆的半径， ， ， 的取值范围是 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查球的表面积，点到平面的距离，属于中档题． 根据正三角形是面积为得到的外接圆半径，根据球的表面积为得到球的半径，利用勾股定理即可得到答案． 【解答】 解：设的外接圆圆心为， 设，圆的半径为，球的半径为， 的边长为，则， 可得，于是， 由题意知，球的表面积为， 则，由，求得， 即到平面