2024年九年级数学中考复习 3.6 二次函数的综合题 八大类型课件

中考复习 3.6 二次函数的综合题 2024/4/2 1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 类型一　线段长、周长的问题 典例1　(2023·凉山州改编)如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点，与y轴交于点C.直线y＝－3x＋3过抛物线的顶点P. (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线x＝m(－5＜m＜0)与抛物线交于点E， 与直线BC交于点F.当EF取得最大值时，求m的 值和EF的最大值． 思路导析　(1)利用待定系数法求解即可； (2)先求出C(0，5)，进而求出直线BC的解析式为y＝x＋5，则 E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)，进一步求出EF＝ 由此即可利用二次函数的性质求出答案． 解：(1)∵抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝－2， 在y＝－3x＋3中，令x＝－2，得y＝9， ∴抛物线的顶点为(－2，9)， 设抛物线的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋9， 将A(1，0)代入，得 0＝9a＋9，解得a＝－1， ∴抛物线的函数解析式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5； (2)如图：在y＝－x2－4x＋5中，令x＝0，得y＝5， ∴C(0，5)， 由B(－5，0)，C(0，5)得直线BC的函数解析式为y＝x＋5， ∴设E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)， ∴EF＝－m2－4m＋5－(m＋5)＝－m2－5m＝ ∵－1＜0， ∴当m＝－ 时，EF取最大值 ， ∴m的值为－ ，EF的最大值为 . 【名师点拨】 (1)求与x轴垂直的线段长：纵坐标，大减小；(2)求与y轴垂直的线段长：横坐标，大减小；(3)如果是求斜线段长，可以通过作垂线构造直角三角形，然后利用三角函数或相似等知识求解；(4)求周长最短问题，往往要联系“将军饮马”模型． 1．如图1，抛物线y＝－x2＋4x－3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线h. (1)在对称轴h上是否存在一点P，使PA＋PC最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (2)过抛物线在x轴上方一动点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值和点N坐标； (3)若点Q是x轴上一点，且AQ＝CQ，求点Q的坐标． 解：(1)存在，点P的坐标为(2，－1)．理由如下： 令x＝0，y＝－3，得点C(0，－3)； 令y＝0，解得x1＝1，x2＝3，得点A(1，0)和点B(3，0)， ∴直线BC的表达式为y＝x－3，直线h：x＝2. ∵点A，B关于直线h对称，∴PA＝PB， ∴当直线BC与h相交于点P时，PA＋PC最小．此时点P坐标为(2，－1)； (2)设点M的坐标为(m，－m2＋4m－3)，则点N(m，m－3)，且1<m<3， ∴MN＝－m2＋4m－3－(m－3)＝－m2＋3m＝ ∵－1＜0，故MN有最大值 ，此时m＝ ，则点N( ，－ )； (3)设点Q(t，0)， 由AQ＝CQ得AQ2＝CQ2， ∴(1－t)2＝t2＋32， ∴t＝－4， ∴点Q的坐标为(－4，0)． 2.(2020·烟台改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A， B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为 直线x＝ ，点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA 于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m. (1)求抛物线的表达式； (2)当线段DF的长度最大时， 求D点的坐标． 解：(1)设OB＝t，则OA＝2t，则点A，B的坐标分别为(2t，0)，(－t，0)， ∵对称轴为x＝ ＝ (2t－t)，解得t＝1， ∴点A，B的坐标分别为(2，0)，(－1，0)， 设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋1)＝ax2＋bx＋2， 解得a＝－1， 故抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2； (2)对于y＝－x2＋x＋2，令x＝0，则y＝2， 故点C的坐标为(0，2)， 由点A，C的坐标得，直线AC的表达式为y＝－x＋2， ∵点D的横坐标为m，∴点D(m，－m2＋m＋2)，则点F(m，－m＋2)， ∴DF＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m， ∵－1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D(1，2)． 3．(2023·眉山改编)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于 点C(0，3)，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接 BP交AC于点D，如图，当 的值最大时，求 点P的坐标及的 最大值． 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)