1.*5 数学归纳法 课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

*§5 数学归纳法(选学) 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 核心素养:数学运算、逻辑推理 学习目标 新知引入 我们从多米诺骨牌游戏说起,码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒下。这样,只要推到第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下；……,总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下。 问题1:多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ (1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题2:你认为条件(2)的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 可以看出,条件(2)给出一个递推根据(关系),当第k块倒下,相邻的 第k+1块也倒下。 含正整数n的命题举例及证明引导 思考:若对于以上命题,若: ①当n=1(初始值)时,命题成立. ②“假定当n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立.” 可推导出“当n=k+1时,命题成立.” 由此是否能判定对于n取任意正整数时成立?为什么? 数学归纳法的一般步骤 数学归纳法在命题证明中的一般步骤 数学归纳法在命题证明中的一般步骤 数列通项公式的猜想与证明 求解简析: (1)根据数列的递归关系,列出该数列的前几项: (2)观察所得项的一般规律,猜想数列的通项公式: (3)使用数学归纳法证明猜想是否正确(若正确,则结束求解,不正确, 则重新建立猜想,再重复该步骤): 数列通项公式的猜想与证明变式与应用 变式1 观察运算:13=12,13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,…. 猜想:13+23+33+…+n3的运算结果,并使用数学归纳法进行证明. 数学归纳法证明含n命题 问题1 使用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(α>−1,n∈N+). 证明: (1)当n=1时,(1+α)n=1+α,1+nα=1+α,此时命题成立; (2)假设当n=k时,命题成立,即(1+α)k≥1+kα.则: 当n=k+1时, 因为α>−1,所以α+1>0. (1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=12+(k+1)α+kα2. 又kα2≥0,所以12+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α, 即(1+α)k+1≥1+(k+1)α. 综上可知,对任意的n∈N+,都有(1+α)n≥1+nα(α>−1). 数学归纳法证明含n命题 变式1 用数学归纳法证明:x2n−y2n能被x+y整除(n∈N+). 证明:(1)当n=1时,有x2n−y2n=x2−y2=(x−y)(x+y) 此时x2n−y2n能被x+y整除. (2)假设当n=k(k≥1)时, x2k−y2k能被x+y整除. 则当n=k+1时,有x2(k+1)−y2(k+1)=x2x2k−y2y2k=x2x2k−x2y2k+x2y2k−y2y2k =x2(x2k−y2k)+(x2−y2)y2k所以x2(k+1)−y2(k+1)也能被x+y整除. 综上可知, x2n−y2n能被x+y整除(n∈N+). 小结 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法,它的基本步骤是: (1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时, 命题成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立. 依据(1)(2)便可断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 应用方向:(1)对于数列通项的猜想的正确性进行证明 (2)给定含n命题的证明. $$