2.2 基本不等式（第2课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式 2.1 基本不等式 【输入学校全称】 （第2课时） 人教A版 必修 第一册 1 新课导入 思考： （2）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽分别为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆又是多少？ （1）一段长为36m的篱笆围成一个矩形的菜园，长、宽各为多少的时候，菜园的面积最大，最大面积为多少？ 面积定值，长度最小值？ 思考 长度定值，面积最大值？ 思考 解题： 第（1）题 【解析】 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 由题意可知 x>0 , y>0 篱笆周长2(x+y)=36，篱笆的面积为xy m2 ， 当且仅当x=y时成立，此时x=y=9. y m x m 周长： 36 m 一正 二定 三等 结论1：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值. 简记“和定积有最大值”. 解题： 第（2）题 【解析】 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 由题意可知 x>0 , y>0 篱笆面积xy=100，篱笆的长为2(x+y) m ， 当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. y m x m 面积： 100m2 一正 二定 三等 结论2：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值. 简记“积定和有最小值”. 2 探究新知 新知【1】 和定积与积定和 若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当 x=y 时，xy取得 最 大 值 . 若xy＝P(P为定值)，则当且仅当 x=y 时，x＋y取得 最 小 值 . 简记: “积定和有最小值” 简记: “和定积有最大值” 练习 练习 练习 不等式解决实际问题 计划要在菜园建造一个长方体无盖贮水池，用以灌溉农作物，其容积为4800，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 不等式解决实际问题 【解析】设底面的长为x m,宽为y m,水池总造价为z 元. 根据题意, 有: xy = =1600, 当x=y, 即x=y=40时, 等号成立. 练习 练习 不等式解决实际问题 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： ①仓库面积S的最大允许值是多少？ ②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？最低总造价是多少元？ 不等式解决实际问题 练习 归纳 利用基本不等式解决实际问题 (1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域； (2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件； (3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解． 3 随堂检测 检测 【答案】　A 检测 【答案】　 检测 检测 检测 检测 4 课堂总结 总结 和定积最大，积定和最小 x＋y＝S (S为定值) xy ≤ x=y时 “=”成立 xy＝P (P为定值) x+y ≥ 运用不等式解决实际问题！ 2．基本不等式与最大(小)值 1. 已知x>0，y>0且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值 【解析】 ∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， ∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))+10=6＋10＝16， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， 即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 2. 已知x>0，y>0，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，求xy的最大值． 【解析】 ∵eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，∴1＝eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)≥2eq \r(\f(xy,12))＝eq \f(\r(3),3) eq \r(xy). ∴eq \r(xy)≤eq \r(3)， 当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)＝eq \f(1,2)即x＝eq \f(3,2)，y＝2时等号成立． ∴xy≤3，即xy的最大值为3. 【解析】①设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy， 依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200， 由