2.2 基本不等式（第1课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式 2.1 基本不等式 【输入学校全称】 （第1课时） 人教A版 必修 第一册 1 新课导入 思考： 第24届国际数学家大会会标，参考弦图设计 你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ 思考 第24届 国际数学家 大会会标 著名的“赵爽弦图”用来证明勾股定理 2 探究新知 探究 我们接着研究赵爽弦图． 1 ≥2ab（a>0,b>0） 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a和b，那么正方形的边长为这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 4个直角三角形面积标注为“朱实”，中间空余小正方形面积标注为“黄实”，即为正方形与4个直角三角形的面积差，明显可得出： 新知【1】 重要不等式 ≥2ab（a>0,b>0） 此等式称为重要不等式 当𝑎、𝑏为任意实数时，上式还成立吗？如何证明？ 思考 新知【2】 基本不等式 a>0，b>0的情况下，我们用和代替a、b, 如果a>0，b>0，则 我们把这个不等式称为基本不等式． 练习 证明：a>0，b>0） 基本不等式的证明 要证 只要证 即要证 0 即要证 0 探究 基本不等式的探究中，得出不等式两边算式的描述． 2 那么从几何的角度，是否可以探究基本不等式的成立？ 思考 练习 基本不等式的几何解释 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. A B C D E a b O OD为半径，OD= 根据射影定理知，CD= OD CD（几何意义：半径不小于半弦长） 练习 × √ √ m＝1 a与b同号 延伸 由基本不等式变形得到的常见结论 归纳 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1) 注意基本不等式成立的条件； (2) 多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3) 对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 练习 运用基本不等式求最值 拆、配 换元 练习 运用基本不等式求最值 一正 二定 三等 归纳 利用基本不等式的解题技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元； ④平方后再用基本不等式． 一正 二定 三等 3 随堂检测 检测 【答案】　C 检测 【答案】　D 检测 【答案】　18 检测 检测 检测 4 课堂总结 总结 不等式 ≥2ab 适用范围 a, b ∈R a>0, b>0 文字叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 “=”成立条件 a=b a=b 运用不等式求最值：一正二定三等! 1．重要不等式与基本不等式 1．正确的打“√”，错误的打“×” (1)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)对于任意实数a，b都成立．(　 　) (2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab).(　 　) (3)若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(　 　) 2．把正确的答案写在横线上) (1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是_________． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件是____________． (1)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)； (2)eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b均为正实数)； (3)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)； (4)(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4(a，b同号)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． (1) 求函数y＝eq \f(1,x－3)＋x(x>3)的最小值； 【解析】　∵y＝eq \f(1,x－3)＋x＝eq \f(1,x－3)＋(x－3)＋3， 又x>3，∴x－3>0，eq \f(1,x－3)>0， ∴y≥2eq \r(\f(1,x－3)·x－3)＋3＝5. 当且仅当eq \f(1,x－3)＝x－3，即x＝4时，y有最小值5. (2) 已知0<x<eq \f(1,3)，求y＝x(1－3x)的最大值. 【解析】∵0<x<eq \f(1,3)，∴1－3x>0， y＝x(1－3x)＝eq \f(1,3)·3x·(1－3x)≤eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x