2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 【输入学校全称】 （第2课时） 人教A版 必修 第一册 1 新课导入 回顾： 类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？ 思考 你能回忆起等式的基本性质吗？ 性质1 若a=b, 则 b=a; 性质2 若a=b, b=c, 则a=c; 性质3 若a=b, 则a±c=b±c; 性质4 若a=b, 则ac=bc; 性质5 若a=b, c≠0, 则= 2 探究新知 新知【1】 不等式的性质 ① 对称性 文字语言 不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等式与原不等式等价 符号语言 a>b ⇔ b<a 作用 写出与原不等式等价且异向的不等式 证明: ∵ a>b, ∴ a-b>0. 由正数的相反数是负数, 得-(a-b)<0. 即b-a<0, ∴ b<a. 同理可证, 如果b<a, 那么a>b. 练习 与m≥(n-2)2等价的是(　 　). A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m C 新知【2】 不等式的性质 ② 传递性 文字语言 如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,那么第一个量大于第三个量 符号语言 a>b , b>c ⇒ a>c 变形 a≥b , b≥c ⇒ a≥c; a<b , b<c ⇒ a<c; a≤b , b≤c ⇒ a≤c 作用 比较大小或证明不等式 你能证明这个性质吗？ 新知【3】 不等式的性质 ③ 加法法则 文字语言 不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向. 符号语言 a>b ⇒ a+c > b+c 变形 a<b ⇒ a+c < b+c a≤b ⇒ a+c ≤ b+c a≥b ⇒ a+c ≥ b+c 作用 不等式的移项,等价变形 证明: ∵ (a+c)-(b+c)=a-b>0, ∴ a+c>b+c. 新知【4】 不等式的性质 ④ 乘法法则 文字语言 不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变; 都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变. 符号语言 a>b, c>0 ⇒ ac>bc a>b, c<0 ⇒ ac<bc 变形 a≥b, c>0 ⇒ ac≥bc a≥b, c<0 ⇒ ac≤bc a<b, c>0 ⇒ ac<bc a<b, c<0 ⇒ ac>bc a≤b, c>0 ⇒ ac≤bc a≤b, c<0 ⇒ ac≥bc 作用 不等式的同解变形 证明: ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负, 得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc. 归纳 1. 该性质不能逆推,如ac>bc ⇏ a>b. 2. ac>bc⇒a>b,c>0或a<b,c<0. 3. 不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数. ④ 乘法法则 新知【5】 不等式的性质 ⑤加法单调性 文字语言 两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向. 符号语言 a>b, c>d ⇒ a+c > b+d 变形 a<b, c<d ⇒ a+c < b+d a≥b, c≥d ⇒ a+c ≥ b+d a≤b, c≤d ⇒ a+c ≤ b+d 作用 由已知同向不等式推出其他不等式 归纳 ⑤加法单调性 1. 此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向. 2. 两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减. 3. 该性质不能逆推,如a+c>b+d ⇏ a>b,c>d. 新知【6】 不等式的性质 ⑥乘法单调性 文字语言 两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得不等式与原不等式同向. 符号语言 a>b>0, c>d>0 ⇒ ac > bd 作用 两个不等式相乘的变形 证明: ∵ a>b>0,c>0, ∴ ac>bc. ∵ c>d>0, b>0, ∴ bc>bd. ∴ ac>bd. 归纳 1. 这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 2.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd; a