2024年中考数学备战一轮复习讲义：反比例函数的图像和性质

2024年中考数学备战一轮复习讲义：反比例函数的图像和性质 知识点归纳 知识点1 反比例函数图象的画法 1.描点法画 图象的一般步骤 (1)列表：反比例函数自变量的取值范围是所有 (2)描点：以自变量x的取值为 (3)连线：按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点，双曲线的两个分支是 画反比例函数图象的特点 ①反比例函数中自变量x≠0，则y≠0，反比例函数的图象的两个分支都无限地接近但永远不能达到x轴和y轴，所以图象与x轴、y轴没有交点. ②画实际问题中的反比例函数图象时应注意自变量的取值范围，它可能是单支，也可能是双曲线的一部分. 2.对于同一个非零实数x， 与 的函数值互为相反数，因此函数与(k为常数，k≠0)的图象关于x轴对称. 3. 反比例函数的图象 反比例函数 图象是由两支分别位于两个象限内的两条曲线组成的，这两支曲线称为双曲线.例如： 知识点2 反比例函数的图象和性质 1. 反比例函数的图象和性质列表如下： 反比例函数的增减性 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以判断k的符号情况. (2)反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况. 2. 反比例函数的函数值的比较 要比较反比例函数的函数值的大小，要特别注意判断所给自变量的值是否是图象同一个分支上的点的横坐标. (1)若给出的自变量的值是同一个分支上的点的横坐标，要根据反比例函数中y随x的增减变化来确定；反之亦然. (2)若不在同一分支上，要根据y的正负来比较大小 知识点3 反比例函数中k的几何意义 1. 过图象任一点作坐标轴垂线，与坐标轴围成的矩形面积 如图所示，过双曲线 上的任意一点P(x,y)作x轴 y轴 的垂线PM，PN. 2. 过图象任一点作某一坐标轴垂线并连结该点与原点，围成的三角形面积 划重点 (1) 可以看作是矩形的面积，并且只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的． (2)已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数，此时如果没有指明反比例函数图象的位置，k的值往往存在两种情况. 要点1 函数图象共存问题 解决函数图象共存问题有两种思路： (1)根据函数表达式分析图象 比如对于反比例函数与一次函数，可以先假设反比例函数中的比例系数为正(负)，判断对应的一次函数图象经过的象限，再对照选项进行确认或者排除. (2)根据选项分析函数表达式中有关系数 判断函数图象是否共存时，先利用其中一个函数图象确定待定字母的取值范围，然后利用函数图象的分布特征进行判断. 要点2 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1.反比例函数与正比例函数图象的交点 设反比例函数y＝(k1≠0)，正比例函数y＝k2x(k2≠0)，则 (1)当k1k2>0时，两函数图象有两个关于原点对称的交点； (2)当k1k2<0，两函数图象有0个交点. 2. 反比例函数与一次函数图象的交点 设反比例函数为 3. 根据反比例函数与一次函数图象解不等式 提升练习 一、单选题 1．反比例函数 （ ）的图象在（　　） A．一、三象限； B．二、四象限； C．第四象限； D．第一象限． 2．已知反比例函数 ，当 时，y随x的增大而减小，那么一次的数 的图像经过第（　　） A．一，二，三象限 B．一，二，四象限 C．一，三，四象限 D．二，三，四象限 3．已知点 A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在反比例函数 y 的图象上，且： 则下列结论一定正确的是（　　） A．y₁+y₂<0 B．y₁+y₂>0 C．y₁<y₂ D．y₁>y₂ 4．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积为2，则的值为（　　） A． B．4 C． D．2 6．如图，点A是反比例函数y 图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（　　） A． B．﹣4 C．4 D． 7．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 8．如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，且 轴，点 、 在 轴上，若四边形 为矩形，则它的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，且y1＜y2＜0，则x1和x2的大小关系是　 　． 10．设矩形的两条邻边长分别